Положительные и ограниченные полукольца 2 (стр. 3 из 4)
верно, но 
совсем неверно.VII. Если S – полукольцо с мультипликативным сокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойства равносильны.
Доказательство.
Осталось доказать
.Имеем
. Добавим к правой и левой части выражения равные элементы 
: 
В силу аддитивной идемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед
. В соответствии с биномом Ньютона, подберем коэффициенты и получим: 
Используя мультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильность условий 1 – 3.
VIII. Пусть S – ограниченное полукольцо, и существует такое 
, что 
для всех 
. Тогда:
1. 
для всех 
;
2. 
- коммутативное ограниченное полукольцо с 1, где I – множество всех мультипликативных идемпотентов из S, а операция 
определяется так:
.
Доказательство.
1. Возьмем
.Тогда
, т.к. 
.Для доказательства понадобится
Лемма:Вограниченном полукольце
.Доказательство: ММИ по числу nв
.I. База. n=1. Из условия ограниченности
II. И.П. n=i-1.
Из условия IIи ограниченности:
.По ИП:
Из условий I,IIполучили, что данное равенство верно для
, лемма доказана.Рассмотрим
: 
Поскольку степень равна 2n-1, то в каждом из составляющих сумму слагаемых, либо
(1 группа), либо 
(2 группа), и только так.Среди слагаемых 1 группы имеется член
. Этот член в сумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при условии и лемме 1. из группы 1 останется только элемент 
Аналогично с элементами группы 2, в которой имеется элемент
, который и останется. Получаем 
2.Прежде всего проверим замкнутость операций
и + на множествеI. 
(1) Поскольку в качестве аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0.
(2) Докажем, что
- коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1:a). Ассоциативность:
Рассмотрим элемент
Элемент Xсостоит из таких слагаемых, которые получены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1, или со всеми с. Элемент
имеется в качестве сомножителя в каждом слагаемом X, т.е. 
С другой стороны
Таким образом, правые части рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана.
b). 1 – нейтральный элемент:
с). Коммутативность:
, 
1.
2.
Из 1 и 2 следует
, по причине равенств правых частей каждого, а значит следует равенство 
. Коммутативность доказана. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1.(3) Дистрибутивность:
(4)
Все аксиомы полукольца доказаны, а значит
- коммутативное полукольцо и его элементы – элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо – ограничено.IX. Если в положительном полукольце S выполняется равенство
,