Положительные и ограниченные полукольца 2 (стр. 2 из 4)
Примерами идеалов могут служить следующие подмножества:
1. {0} – нулевой идеал;
2. S – идеал, совпадающий со всем полукольцом;
3. Идеал на полукольце
: 
;4. Главный идеал ограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a:
.Глава II «Положительные и ограниченные полукольца».
2.1. Определение, примеры и основные свойства.
Полукольцо S с 1 называется положительным, если для любого элемента а
S элемент а+1 обратим в S, т.е. 
.Примерами положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:
1. ограниченные дистрибутивные решетки;
2. полукольца непрерывных R+ - значных функций;
3. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
Полукольцо S называется ограниченым, если для любого 
выполняется 
. Ограниченное полукольцо – частный случай положительного полукольца.
Примеры ограниченных полуколец:
1. ограниченные дистрибутивные решетки;
2. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
2.1.Основные свойства положительных и ограниченных полуколец:
I. Для полукольца S следующие условия равносильны:
1. S – положительное полукольцо;
2. для любого максимального одностороннего идеала M в Sи любых a и b S
(a+b M) 
(a M & b M).
Доказательство:
1
2. Пусть 
для произвольных 
и максимального правого идеала M. Предположим, что 
, тогда 
и 
для некоторых 
и 
. Имеем: 
.В левой части последнего равенства – элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.
2
1. Пусть выполнено 2 и с – произвольный элемент из S. Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале полукольца S(т.к. в противном случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит, 1+с обратим.II. В положительном полукольце S справедливы импликации:
Доказательство. Пусть
. Поскольку Sположительно, то для x+1 найдется некоторый 
, такой что 
. Тогда 
,т.к. 
. Получили y=1 и значит 
.Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,
Теперь, пусть
, тогда 
,т.е. такое полукольцо еще и аддитивно идемпотентно.Поскольку
выполняется для 
, то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножим обе части на xи получим необходимое равенство.III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда, когда для любого элемента и любого обратимого элемента 
элемент 
обратим.
Доказательство.
Полукольцо положительно, следовательно, элемент 
- обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый. 
В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.
и 
– обратимы, тогда их произведение также обратимо 
, значит 
обратим.IV . Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:
1. S – дистрибутивная решетка.
2. 
Доказательство.
. Очевидно. 
. По свойству 2 следует , тогда: 
и 
.Эти условия наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют дистрибутивную решетку.
V. В ограниченном полукольце единица 1 – единственный обратимый элемент.
Доказательство.
Пусть есть некоторый обратимый элемент u,
и 
VI. Пусть a – фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет следующее утверждение:
1. a+1=1;
2.
3.
Доказательство.
. Докажем методом математической индукции по числу n.I. База. к=1.
(выполняется по условию).II. Индуктивное предположение. Пусть для к<nусловие выполняется, т.е.
Рассмотрим для k=n
и a+1=1
Из Iи IIСледует
. 
. 
.Можно выбрать из всего количества N, некоторое число, для которого тоже данное выражение будет верно.
Примером того , что условие 3 не влечет условие 1 является полукольцо матриц
. Зафиксируем элемент 
, где 
. Для n=2