Уравнение линии на плоскости (стр. 5 из 5)
Обозначается предел так;
.Функция
называется непрерывной в точке 
, если она1. определена в точке
2. имеет конечный предел при
и 
3. этот предел равен значению функции в точке
, то есть 
.Величина
называется полным приращением функции в точке 
. Если задать приращение только одной какой-либо переменной то получается частное приращение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует). Таким образом, для функции по определению
.Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, то есть
или 
.Функция
называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде 
, где 
– бесконечно малые при 
.Теорема. Если частные производные
и 
функции существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.Градиентом
функции называется вектор 
. Градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.Точка
называется точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки 
, такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство 
Теорема. Пусть точка
– есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
Если частные производные
и сами являются дифференцируемыми функциями, то можно определить также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка.Если частные производные второго порядка функции
непрерывны в точке , то в этой точке 
.Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть функция
1. определена в некоторой окрестности критической точки
, в которой 
.2. имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка
, 
, 
.Тогда, если
, то в точке функция имеет экстремум, причем если 
– максимум, если 
– минимум. В случае 
функция экстремумов не имеет. Если 
, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:
1. Найти частные производные первого порядка.
2. Решить систему уравнений
, 
и найти критические точки функции.3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.
Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
Литература
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2003.
2.Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская Теория вероятностей в задачах и упражнениях / М. ИНФРА-М 2005.
3. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004. Ч. 1, 2
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1977
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1977
6. М.С. Красс Математика для экономических специальностей: Учебник/ М. ИНФРА-М 1998.
7. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М., 2000.
8.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1971.
9.А.К. Казашев Сборник задач по высшей математике для экономистов – Алматы - 2002 г.
10.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1985, Т. 1,2.
11.П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников Высшая математика в упражнениях и задачах/ М. ОНИКС-2005.
12.И.А. Зайцев Высшая математика/ М. Высшая школа-1991 г.
13.Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1985.
14.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы анализа экономики. – М.: ДИС, 1997.
15.Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. – М.: Высшая школа, 1982 – Ч 1, 2.
16.Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: Инфра-М, 1997.
17.В.С. Шипацев Задачник по высшей математике-М. Высшая школа, 2005 г.