Лекции по Математике 2 (стр. 8 из 10)
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:
Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль. __
Аргумент комплексного числа - это угол
между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tan = b / a .Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль r и аргумент
: 
Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.
Это знаменитая формула Муавра.
Здесь k - целое. Чтобы получить n различных значений корня n-ой степени из z необходимо задать n последовательных значений для k ( например, k = 0, 1, 2,…, n – 1 ) .
Математическая индукция
Пусть требуется доказать некоторое свойство ( это может быть формула, тождество, неравенство, утверждение и т.д.), зависящее от натурального числа n. Если:
1) это свойство имеет место для некоторого натурального числа n0 ,
2) из условия справедливости этого свойства при n = k следует его
справедливость при n = k + 1 для любого k
n0 ,то тогда это свойство имеет место для любого натурального n
n0 .П р и м е р . Доказать, что 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n – 1 ) = n 2 .
Для доказательства применим метод математической индукции.
Очевидно, что при n = 1 данное равенство справедливо. Предположим,
что оно справедливо при некотором k , т.е. имеет место
1 + 3 + 5 + ... + ( 2k – 1 ) = k 2 .
Докажем, что тогда оно имеет место и при k + 1 . Рассмотрим
соответствующую сумму при n = k + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + ( 2k – 1 ) + ( 2k + 1 ) = k 2 + ( 2k + 1 ) = ( k + 1 ) 2 .
Таким образом, из условия, что это равенство справедливо при
k вытекает, что оно справедливо и при k + 1, значит оно справедливо
при любом натуральном n , что и требовалось доказать.
Неравенства: общие сведения
Неравенство. Тождественное неравенство.
Строгие и нестрогие неравенства.
Решение неравенств и систем неравенств.
Основные свойства неравенств.
Некоторые важные неравенства.
Два выражения (числовые или буквенные), соединённые одним из знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (
«меньше или равно» ( 
образуют неравенство (числовое или буквенное). Любое справедливое неравенство называется тождественным. Например, тождественны следующие неравенства: 3 · 7 – 20 > 2 · 4 10, a² 0, | 5 | > 3. (Почему?). В зависимости от знака неравенства мы имеем либо строгие неравенства ( > , < ) , либо нестрогие ( Запись 5a b означает, что 5a либо меньше 4b, либо равно ему. Буквенные величины, входящие в неравенство, могут быть как известными, так и неизвестными. Решить неравенство – значит найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы неравенство было справедливым. Решить систему неравенств – значит найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы все неравенства, входящие в систему, были справедливы одновременно.Основные свойства неравенств.
| 1. | Если a < b, то b > a ; или если a > b, то b < a . |
| 2. | Если a > b, то a + c > b + c; или если a < b, то a + c < b + c. То есть, можно прибавлять (вычитать) одно и то же число к обеим частям неравенства. |
| 3. | Если a > b и c > d, то a + c > b + d . То есть, неравенства одного смысла (с одинаковым знаком > или < ) можно почленно складывать. Заметим, что неравенства одного смысла нельзя почленно вычитать одно из другого, так как результат может быть неверным. |
| 4. | Если a > b и c < d, то a – c > b – d . Или если a < b и c > d, то a – c < b – d . То есть, неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать одно из другого, и брать знак неравенства, являющегося уменьшаемым. |
| 5. | Если a > b и m > 0, то ma > mb и a/m > b/m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. Неравенство при этом сохраняет свой знак. |
| 6. | Если a > b и m < 0, то ma < mb и a/m < b/m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число. Неравенство при этом меняет свой знак на обратный. |
Некоторые важные неравенства.
1. | a + b |
a b | . Модуль суммы меньше или равен сумме модулей.2. a + 1 / a
2 a – положительно ). Равенство будет только при a = 1. 
( a и b – положительны ). Равенство только при a = b.Среднее геометрическое не больше среднего арифметического.
В общем случае это неравенство имеет вид:
Числа a1 , a2 , …, an - положительны. Равенство имеет место, если только все числа равны.
Доказательство и решение неравенств
Методы доказательства неравенств.
Решение неравенств. Равносильные неравенства.
Метод интервалов. Системы неравенств.
Доказательство неравенств. Существует несколько методов доказательства неравенств. Мы рассмотрим их на примере неравенства:
где a – положительное число.1). Использование известного или ранее доказанного неравенства.
Известно, что ( a – 1 )²
0 .
2). Оценка знака разности между частями неравенства.
Рассмотрим разность между левой и правой частью:
более того, равенство имеет место только при a = 1 .
3). Доказательство от противного.
Предположим противное:
Умножая обе части неравенства на a , получим: a 2 + 1 < 2a, т.e.
a 2 + 1 – 2a < 0 , или ( a – 1 ) 2 < 0, что неверно. ( Почему ? ) .
Полученное противоречие доказывает справедливость
рассматриваемого неравенства.
4). Метод неопределённого неравенства.
Неравенство называется неопределённым, если у него знак \/ или /\ ,
т.е. когда мы не знаем в какую сторону следует повернуть этот знак,
чтобы получить справедливое неравенство.
Здесь действуют те же правила, что и с обычными неравенствами.
Рассмотрим неопределённое неравенство:
Умножая обе части неравенства на a , получим: a 2 + 1 \/ 2a, т.e.
а 2 + 1 – 2a \/ 0 , или ( a – 1 ) 2 \/ 0 , но здесь мы уже знаем, как повернуть
знак \/ , чтобы получить верное неравенство ( Как? ). Поворачивая его
в нужном направлении по всей цепочке неравенств снизу вверх, мы
получим требуемое неравенство.
Решение неравенств. Два неравенства, содержащие одни и те же неизвестные, называются равносильными, если они справедливы при одних и тех же значениях этих неизвестных. Такое же определение используется для равносильности двух систем неравенств. Решение неравенств - это процесс перехода от одного неравенства к другому, равносильному неравенству. Для этого используются основные свойства неравенств (см. параграф “Неравенства: общие сведения”). Кроме того, может быть использована замена любого выражения другим, тождественным данному. Неравенства могут быть алгебраические ( содержащие только многочлены ) и трансцендентные ( например, логарифмические или тригонометрические ). Мы рассмотрим здесь один очень важный метод, используемый часто при решении алгебраических неравенств.
Метод интервалов. Решить неравенство: ( x – 3 )( x – 5 ) < 2( x – 3 ). Здесь нельзя делить обе части неравенства на ( x – 3 ), так как мы не знаем знака этого двучлена ( он содержит неизвестное x ). Поэтому мы перенесём все члены неравенства в левую часть:
( x – 3 )( x – 5 ) – 2( x – 3 ) < 0 ,
разложим её на множители:
( x – 3 )( x – 5 – 2 ) < 0 ,
и получим: ( x – 3 )( x – 7 ) < 0. Теперь определим знак произведения в левой части неравенства в различных числовых интервалах. Заметим, что x = 3 и x = 7 - корни этого выражения. Поэтому вся числовая ось разделится этими корнями на следующие три интервала: