Лекции по Математике 2 (стр. 10 из 10)
Перестановки. Возьмём n различных элементов: a1 , a2 , a3 , …, an . Будем переставлять их всеми возможными способами, сохраняя их количество и меняя лишь порядок их расположения. Каждая из полученных таким образом комбинаций называется перестановкой. Общее количество перестановок из n элементов обозначается Pn . Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n :
Символ n! ( называется факториал ) - сокращённая запись произведения: 1 · 2 · 3 · … · ( n – 1 ) · n .
П р и м е р . Найти число перестановок из трёх элементов: a, b, c.
Р е ш е н и е . В соответствии с приведенной формулой: P3 = 1 · 2 · 3 = 6.
Действительно, мы имеем 6 перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Размещения. Будем составлять группы из m различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, располагая эти m взятых элементов в различном порядке. Полученные комбинации называются размещениями из n элементов по m .
Их общее количество обозначается:
и равно произведению: 
П р и м е р . Найти число размещений из четырёх элементов a, b, c, d по два.
Р е ш е н и е . В соответствии с формулой получим:
Вот эти размещения: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.
Сочетания. Будем составлять группы из m различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, не принимая во внимание порядок расположения этих m элементов. Тогда мы получим сочетания из n элементов по m .
Их общее количество обозначается
и может быть вычислено по формуле: 
Из этой формулы ясно, что
Заметим, что можно составить только одно сочетание из n элементов по n , которое содержит все n элементов. Формула числа сочетаний даёт это значение, если только принять, что 0! = 1, что является определением 0! .
В соответствии с этим определением получим:
Общее число сочетаний можно вычислить, пользуясь и другим выражением:
П р и м е р . Найти число сочетаний из пяти элементов: a, b, c, d, e по три.
Р е ш е н и е :
Эти сочетания: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
Бином Ньютона. Это формула, представляющая выражение ( a + b ) n при положительном целом n в виде многочлена:
Заметим, что сумма показателей степеней для a и b постоянна и равна n.
П р и м е р 1 .
( См. формулу суммы кубов двух чисел ).
Числа
называются биномиальными коэффициентами.Их можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей. Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из предыдущей строки. Эта схема называется треугольником Паскаля:
Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для n = 1; вторая - для n = 2; третья - для n = 3 и т.д. Поэтому, если необходимо, например, разложить выражение:
( a + b )7 ,
мы можем получить результат моментально, используя таблицу:
Свойства биномиальных коэффициентов.
1. Сумма коэффициентов разложения ( a + b ) n равна 2 n .
Для доказательства достаточно положить a = b = 1. Тогда в правой части разложения бинома Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов, а слева:
2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.
Это свойство следует из соотношения:
3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна
Для доказательства воспользуемся биномом:
Здесь чётные члены имеют знак « + » , а нечётные - « ». Так как в результате разложения получается 0, то следовательно, суммы их биномиальных коэффициентов равны между собой, поэтому каждая из них равна: 
что и требовалось доказать.Координаты. Графическое представление функций
Координаты. Система координат. Декартовы координаты.
Оси координат: ось абсцисс, ось ординат. Начало
координат. Масштаб. Абсцисса и ордината точки.
Графическое представление функций. График функции.
Координаты. Две взаимно перпендикулярные прямые XX’ и YY’ ( рис.1 ) образуют систему координат, называемых декартовыми координатами. Прямые XX’ и YY’ называются осями координат. Ось XX’ называется осью абсцисс, ось YY’ – осью ординат. Точка O их пересечения называется началом координат. На осях координат выбирается произвольный масштаб.
Найдём прекции P и Q точки M на оси координат XX’ и YY’. Отрезок OP на оси XX’ и число x, измеряющее его длину в соответствии с выбранным масштабом, называется абсциссой точки M ; отрезок OQ на оси YY’ и число y, измеряющее его длину ординатой точки M. Величины x = OP и y = OQ называются декартовыми координатами ( или просто – координатами ) точки M. Они считаются положительными или отрицательными в зависимости от принятых положительного и отрицательного направлений осей координат. Положительные абсциссы обычно располагаются на оси XX’ справа от начала координат; положительные ординаты – вверх по оси YY’ от начала координат. На рис.1 видно: точка M имеет абсциссу x = 2 и ординату y = 3; точка K имеет абсциссу x = 4 и ординату y = 2.5. Это можно записать так: M ( 2, 3 ), K ( 4, 2.5 ). Таким образом, каждой точке на плоскости соответствует пара чисел ( x, y ), и наоборот, каждой паре чисел ( x, y ) соответствует одна точка на плоскости.
Графическое представление функций.
Чтобы представить функцию y = f ( x ) в виде графика, нужно:
1) Записать ряд значений функции и её аргумента в таблицу:
2) Перенести координаты точек функции из таблицы в систему координат,
отметив в соответствии с выбранным масштабом значения абсцисс на
оси Х и значения ординат на оси Y ( рис.2 ). В результате в нашей системе
координат будет построен ряд точек A, B, C, . . . , F.
3) Соединяя точки A, B, C, . . . , F плавной кривой, получаем график заданной
функциональной зависимости.
Такое графическое представление функции даёт наглядное представление о характере её поведения, но достигаемая при этом точность недостаточна. Возможно, что промежуточные точки, не построенные на графике, лежат далеко от проведенной плавной кривой. Хорошие результаты в значительной степени зависят также от удачного выбора масштабов. Поэтому следует определить график функции как геометрическое место точек, координаты которых M ( x, y ) связаны заданной функциональной зависимостью.