Парная линейная регрессия, парная нелинейная регрессия, множественная регрессия, временные ряды (стр. 5 из 10)
(2.6)2.2.1. Последовательность выполнения работы по моделированию.
2.2.1.1. Откроем новую книгу и сохраним ее в своей папке под именем ПНР.xls (Парная Нелинейная Регрессия). Озаглавим лист «Модель».
2.2.1.2. Сформируем заголовки для исходных данных модели (Рисунок 2.1)
- коэффициенты модели a, b;
- объем наблюдений n;
- среднее квадратическое отклонение погрешности СКОе;
- математическое ожидание независимой переменной Мх;
- среднее квадратическое отклонение независимой переменной СКОх.
- значение степени k
2.2.1.3. Введем значения а, b, k, CKOe (σе), Mx, CKOx.
Рисунок 2.1
2.2.1.4. Сформируем заголовки таблицы модели (Рисунок 2.2).
2.2.1.5. Выделим ячейки для:
-расчета коэффициента корреляции r;
-индекса корреляции R.
-номера наблюдения i;
-независимой переменной x;
-факторного значения зависимой переменной y, определяемой независимой переменной x;
-ошибки регрессии (отклонение наблюдаемой независимой величины от фактического значения зависимой переменной y, определяемой независимой переменной x) e;
-наблюдаемого значения зависимой переменной (с учетом ошибки регрессии e) y;
Рисунок 2.2
2.2.1.6. Введем первый номер наблюдения (i=1).
2.2.1.7. Смоделируем первое значение независимой переменной.
Случайное значение независимой переменной x моделируется аналогично линейной модели.
2.2.1.8. Рассчитаем теоретическое значение зависимой переменной.
Теоретическое значение зависимой переменной определяется формулой:
(2.7)2.2.1.9. Смоделируем ошибку модели.
Ошибка модели моделируется аналогично линейной модели.
2.2.1.10. Рассчитаем фактическое значение зависимой переменной. Фактическое значение зависимой переменной рассчитывается как сумма теоретического значения и ошибки.
2.2.1.11. Смоделируем сто наблюдений.
Пользуясь средствами копирования содержимого ячеек в Excel получим 100 наблюдений независимой и зависимой переменной. В ячейку количества наблюдений n введем 100.
В отчете представить 10 первых значений (Рисунок 2.3) и построить точечные графики теоретической зависимости
и смоделированных фактических наблюдений (Рисунок 2.4). 
2.3. Идентификация модели парной нелинейной регрессии.
Рассматриваемая нелинейная регрессионная модель приводится к линейной путем введения новой переменной
.Процедура идентификации и анализа полученной линейной модели y(z) аналогичена процедуре идентификации и анализа для линейной модели.
2.3.2. Последовательность выполнения.
2.3.2.1. Вводим новую переменную.
2.3.2.2. Получим столбец 100 значений новой переменной (Рисунок 2.5).
Таким образом, задача свелась к линейной модели
2.3.2.3. Для определения параметров a и b применить функцию «Линейн» («LINEST») ППП Excel, для чего выделить массив ячеек 2х5 (Рисунок 2.6).
2.3.2.4. Аналогично, как это делалось для линейной модели вводим формулу массива.
В ячейках формулы массива (Рисунок 2.6) возвращаемые переменные расположены в соответствии с таблицей, представленной в разделе парной линейной регрессии.
2.3.2.5. Сопоставим идентифицированные значения коэффициентов модели с заданными.
Посредством нажатия на клавишу F9 (при нажатии которой происходит новая генерация случайных чисел) пронаблюдать за изменением идентифицируемой линий регрессии из-за вариации рассчитанных коэффициентов a и b.
2.3.2.6. Видно, что при увеличении коэффициента a, коэффициент b уменьшается. Идентификационная линия регрессии с уменьшением коэффициента a приближается к теоретической линий данной регрессии.
Заключение о принятии нулевой гипотезы, построение доверительных интервалов линии регрессии y(z) и прогноза строятся аналогично, как это делалось выше для линейной модели (в рамках данной работы это разрешается не проводить).
2.3.2.7. Построим точечные графики зависимости теоретической и идентифицируемой линий регрессии.
Для этого необходимо преобразовать полученные зависимости от z в зависимости от x и получить столбец значений y (Рисунок 2.7).
В качестве параметров a и b используются идентифицированные с помощью функции «Линейн» значения.
2.3.2.8. С помощью мастера диаграмм построим теоретическую и идентифицированную линии регрессии (Рисунок 2.10).
2.3.2.9. Построим доверительные интервалы прогноза.
Доверительные интервалы прогноза определяются как:
, где 
- теоретическое идентифицированная нелинейная линия регрессии (на странице Excel – yт), 
- табличное значение коэффициента Стъюдента для доверительной вероятности α=0,05, 
- Стандартное отклонение наблюдаемых значений независимой переменной от линии регрессии (2-й столбец,3-я строка возвращаемой таблицы функции «ЛИНЕЙН»).Табличное значение коэффициента Стъюдента (tinv) для рассматриваемого примера (Рисунок 2.8):
Получим график с нелинейной регрессией и доверительными интервалами прогноза (Рисунок 2.9).
2.3.2.10. Генерируя различные случайные последовательности и изменяя СКОe получим различные теоретические и идентифицированные линии регрессии (Рисунок 2.10, Рисунок 2.11).
Рисунок 2.11
2.3.2.11. Из полученных линий регрессии видим, что в нашем случае (при первоначально заданной CKOe=3) связь параметров aиb была достаточно сильной. Поэтому при генерации различных случайных последовательностей теоретические и идентифицированные линии регрессии практически не отличаются друг от друга. При увеличении CKOe (CKOe=500) появляются значимые различия между линиями, а в некоторых случаях связь близка к разрыву.
2.4. Анализ нелинейной регрессии для реальных экономических показателей.
Исследуем зависимость общих расходов предприятия от объема производства.
Дана таблица наблюдений:
Рисунок 2.12
Исследуем данную зависимость при заданном уравнении y= bxk+a+eи k=0.5.
Получим средние значения по столбцам, а так же значения XY и X^2.
Вычислим значения a и b:
b= (срXY-срX*срY)/(срX^2-(срX)^2))
a=срY-b*срX .
Формула для вычисления Yтеор имеет вид: Yтеор=b*x+a.
Рассчитаем средний квадрат отклонения (Y-Yтеор)^2, а так же для приведения нелинейного уравнения к линейному введем и рассчитаем новую переменную Z=X^k.
Рисунок 2.13
При помощи функции «Линейн» проведем анализ полученных данных: