Решение математических уравнений и функций (стр. 1 из 3)
Вариант 1
Задание 1
Дан треугольник АВС: А(5;4), В(2;0), С(8;3). Найти:
1) длину стороны АВ;
2) внутренний угол А с точностью до градуса;
3) уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
4) точку пересечения высот;
5) уравнение медианы, проведенной из вершины С;
6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Сделать чертеж.
Решение:
1) Найдем координаты вектора
: 
.Длина стороны АВ равна
.2) Внутренний угол А будем искать как угол между векторами
и 
: 
.Тогда угол
.3) Прямая
проходит через точку С(8;3) и имеет нормалью вектор 
.По формуле
получим уравнение высоты: 
, 
, 
- уравнение СК.Длину высоты
будем искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор . По формуле 
получим 
, 
, 
- уравнение прямой АВ.Воспользуемся формулой
.
.4) Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено. выведем аналогичным способом уравнение высоты ВН, проходящей через точку В перпендикулярно вектору
. 
, 
.Координаты точки Р найдем как решение системы:
, 
, 
.Р(4;6).
5) Координаты основания медианы будут:
6)
, 
,М(3.5;2).
Уравнение медианы найдем, используя формулу
, как уравнение прямой, проходящей через две точки: С и М. 
, 
, 
, 
- уравнение медианы СМ.7) Треугольник АВС задается пересечением трех полуплоскостей, определяемых через уравнения прямых АВ, ВС, АС.
Найдем уравнения ВС и АС по формуле
. 
, 
, 
, 
- уравнение ВС. 
, 
, 
, 
- уравнение АС. - уравнение АВ.Чтобы определить полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, подставим координаты точки С в уравнение АВ:
4∙8-3∙3-8=32-9-8=15≥0.
Тогда полуплоскость, в которой лежит треугольник АВС относительно прямой АВ, определяется неравенством:
.Аналогично для прямых ВС и АС.
; 
. 
; 
.Таким образом, треугольник АВС определяется системой неравенств:
.Ответ003A
1)
;2)
;3)
; 
;4) Р(4;6);
5)
;6)
.Задание 2
Даны векторы
. Доказать, что векторы 
образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора 
в этом базисе.Решение:
- система из четырех четырехмерных векторов. Следовательно, чтобы доказать, что она является базисом пространства 
, достаточно доказать ее линейную независимость.Составим и вычислим определитель матрицы, столбцами которой являются векторы
: 
.Для вычисления этого определителя, разложим его по четвертому столбцу:
.Определитель Δ≠0, следовательно
- линейно независимая система из четырех четырехмерных векторов, то есть базис пространства .Для нахождения координат вектора
в этом базисе, разложим вектор по базису : 
.3Найдем
- координаты вектора в этом базисе. 
.Решим эту систему методом Гаусса.
Поменяем местами первое и третье уравнение:
Первое уравнение, умноженное последовательно на (-1) и (2), прибавим соответственно ко второму и третьему уравнениям системы:
Поменяем местами второе и четвертое уравнения, третье разделим на 5:
Прибавим к третьему уравнению второе:
Поменяв местами третье и четвертое уравнение, получим систему треугольного вида:
Система имеет единственное решение. Решаем снизу вверх:
Вектор
в базисе имеет координаты 
.