Геометрические и физические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интеграло (стр. 4 из 4)

Заряд поверхности

Пусть величина

является плотностью распределения заряда по поверхности. Тогда полный заряд, распределенный по проводящей поверхности S выражается формулой

Теорема Гаусса

Поток электрического смещения

через замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности:

где

, − напряженность электрического поля, ε − относительная диэлектрическая проницаемость среды, − диэлектрическая проницаемость вакуума.
Теорема Гаусса применима к любым замкнутым поверхностям. В случае поверхности с достаточной симметрией, данная теорема упрощает вычисление электрического поля. Теорему Гаусса рассматривают как один из основных постулатов теории электричества. Она входит в систему основных уравнений Максвелла.

Пример

Найти массу параболической оболочки, заданной уравнением

и имеющей плотность .

Воспользуемся формулой

Проекция D(x,y) параболической поверхности S на плоскость xy представляет собой круг радиусом 1 с центром в начале координат. Следовательно, можно записать

Переходя в подынтегральном выражении к полярным координатам, получаем

Сделаем подстановку

. Тогда . Здесь u = 1 при r = 0, и при r = 1. Следовательно, интеграл равен