Заряд поверхности
Пусть величина

является плотностью распределения заряда по поверхности. Тогда полный
заряд, распределенный по проводящей поверхности
S выражается формулой

Теорема Гаусса
Поток электрического смещения

через замкнутую поверхность
S равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности:

где

,

− напряженность электрического поля,
ε − относительная диэлектрическая проницаемость среды,

− диэлектрическая проницаемость вакуума.
Теорема Гаусса применима к любым замкнутым поверхностям. В случае поверхности с достаточной симметрией, данная теорема упрощает вычисление электрического поля. Теорему Гаусса рассматривают как один из основных постулатов теории электричества. Она входит в систему основных уравнений Максвелла.
Пример
Найти массу параболической оболочки, заданной уравнением

и имеющей плотность

.
Воспользуемся формулой

Проекция D(x,y) параболической поверхности S на плоскость xy представляет собой круг радиусом 1 с центром в начале координат. Следовательно, можно записать

Переходя в подынтегральном выражении к полярным координатам, получаем

Сделаем подстановку

. Тогда

. Здесь
u = 1 при
r = 0, и

при
r = 1. Следовательно, интеграл равен