Геометрические и физические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интеграло (стр. 3 из 4)
В случае плоской кривой, заданной в плоскости Oxy, масса определяется как
или в параметрической форме
Центр масс и моменты инерции кривой
Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности ρ (x,y,z). Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами
где
− так называемые моменты первого порядка.
Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz определяются формулами
Работа поля
Работа при перемещении тела в силовом поле
вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода 
где
− сила, действующая на тело, 
− единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение 
означает скалярное произведение векторов и . Заметим, что силовое поле
не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы иногда может оказаться отрицательной. Если векторное поля задано в координатной форме в виде
то работа поля вычисляется по формуле
В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой C в плоскости Oxy, справедлива формула
Где
Если траектория движения C определена через параметр t (t часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид
где t изменяется в интервале от α до β. Если векторное поле
потенциально, то работа по перемещению тела из точки A в точку B выражается формулой 
где 
− потенциал поля.  |  |
| Рис.1 | Рис.2 |
Закон Ампера
Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией
вдоль замкнутого контура C пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C (рисунок 2). Это выражается формулой 
где
- магнитная проницаемость ваккуума, равная 
Н/м.Закон Фарадея
Электродвижущая силаε, наведенная в замкнутом контуре C, равна скорости изменения магнитного потока ψ, проходящего через данный контур (рисунок 3).
 |
| Рис.3 |
Пример
Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки A(1,1) до B(2,4). Масса распределена вдоль отрезка с плотностью
.Решение. Составим сначала параметрическое уравнение прямой AB.
где параметр t изменяется в интервале [0,1]. Тогда масса проволоки равна
2.4 Физические приложения поверхностных интегралов
Поверхностные интегралы применяются во многих прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются
- Масса оболочки;
- Центр масс и моменты инерции оболочки;
- Сила притяжения и сила давления;
- Поток жидкости и вещества через поверхность;
- Электрический заряд, распределенный по поверхности;
- Электрические поля (теорема Гаусса в электростатике).
Масса оболочки
Пусть S представляет собой тонкую гладкую оболочку. Распределение массы оболочки описывается функцией плотности
. Тогда полная масса оболочки выражается через поверхностный интеграл первого рода по формуле 
Центр масс и моменты инерции оболочки
Пусть распределение массы m в тонкой оболочке описывается непрерывной функцией плотности
. Координаты центра масс оболочки определяются формулами 
где
− так называемые моменты первого порядка относительно координатных плоскостейx = 0, y = 0 и z = 0, соответственно.
Моменты инерции оболочки относительно осей Ox, Oy, Oz выражаются, соответственно, формулами
Моменты инерции оболочки относительно плоскостей xy, yz, xz определяются формулами
Сила притяжения поверхности
Пусть задана поверхность S, а в точке (x0, y0, z0), не принадлежащей поверхности, находится тело массой m (рисунок 1).
 |  |
| Рис.1 | Рис.2 |
Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением
где
, G - гравитационная постоянная, − функция плотности.Сила давления
Предположим, что поверхность S задана вектором
и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила , созданная давлением 
, находится с помощью поверхностного интеграла по формуле 
Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать
где
− единичный нормальный вектор к поверхности S.Поток жидкости и поток вещества
Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости
, то поток через поверхность S называется потоком жидкости. Он равен объему жидкости, проходящей через поверхность S в единицу времени и выражается формулой 
Аналогично, поток векторного поля
, где ρ − плотность, называется потоком вещества и определяется выражением 
Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу времени.