Методика регрессионного анализа (стр. 1 из 2)
Министерство науки и образования Украины
Национальный технический университет Украины
"Киевский политехнический институт"
Радиотехнический факультет
Контрольная работа
По курсу: "Основы научных исследований"
Тема: "Методика регрессионного анализа"
Киев 2007
Нахождение коэффициентов регрессии модели полнофакторного эксперимента типа 23
Факторный эксперимент связан с варьированием одновременно всех факторов и проверкой достоверности результатов математико-статистическими методами. Факторы в эксперименте можно варьировать на бесконечном множестве уровней. При планировании эксперимента, чтобы получить результаты эксперимента в виде удобных для анализа полиномов, достаточно изменять факторы на двух, трех или пяти уровнях. Проведение экспериментов с многоуровневыми факторами затруднительно, поэтому они находят ограниченное применение в практике инженерного эксперимента.
Таблица 1
| Номер комбинации | Факторы | Произведения факторов | Параметры оптимизации (экспертная оценка) | Параметр оптимизации | ||||||||
| _ | Ф | И | С | |||||||||
| x0 | x1 | x2 | x3 | x1x2 | x1x3 | x2x3 | x1x2x3 | y1 | y2 | y3 |  | |
| 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 31 | 28 | 47 | 35,3 |
| 3 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | 1 | -1 | 1 | 12 | 9 | 10 | 10,3 |
| 4 | 1 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 60 | 52 | 64 | 58,7 |
| 5 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 3 | 2 | 2 |
| 6 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | 54 | 59 | 50 | 54,3 |
| 7 | 1 | -1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | -1 | 41 | 41 | 40 | 40,7 |
| 8 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 91 | 92 | 90 | 91 |
| Среднее значение | 24,8 | |||||||||||
Модель для ПФЭ типа
выглядит следующим образом: 
Коэффициенты уравнения регрессии по методу наименьших квадратов в матричной форме определяем следующим образом [1, с. 53-55]:
Выражение
- квадратная симметричная матрица – называется матрицей системы нормальных уравнений, или информационной матрицей (матрицей Фишера); 
– ковариационная матрица, или матрица дисперсий ковариаций.Ковариация показывает величину статистической взаимосвязи между эффектами модели xi и xj:
Также коэффициенты ковариаций можно определить из ковариационной матрицы:
Из матрицы видно, что коэффициенты ковариаций каждого эффекта с каждым равны нулю, отсюда делаем вывод, что коэффициенты уравнения регрессии не коррелированны между собой.
Проверка многофакторных статистических моделей по основными критериям качества
Проверка на статистическую значимость получаемой математической модели [1, с. 93-94]
Проводиться проверка статистической гипотезы о силе влияния факторов плана эксперимента на фоне случайной изменчивости повторных опытов:
Где
– среднее значения результатов опытов в u-той строке матрицы результатов; 
– среднее значение по всем результатам опытов; 
- результат в u-той строке l-го повторного опыта; 
(n – количество повторных опытов (2)) 
По таблице (приложение 3) определяем
3,73Поскольку
(53,935>3,73), то делаем положительный вывод о целесообразности получения математической модели.Проверки предпосылок о свойствах случайных ошибок входящие в результаты экспериментов [1, с. 93]
При равномерном дублировании опытов nu = n = const (в нашем случае n = 2). Проверка однородностиряда дисперсий производиться с использованием G-критерия Кохрена:
- вычисляется по формуле:
Число степеней свободы, которыми обладает каждая из дисперсий: n – 1 = 1;
Количество независимых оценок дисперсий: N = 8
По указанным индексам находим значение
из таблицы "Критерий Кохрена" (приложение 1) 
Так как
то делаем вывод, что дисперсии однородны и могут быть усреднены: 
Проверка на адекватность полученной модели произвольным результатам экспериментов в пределах принятых изменений факторов [1, с. 94-95]
Проверка коэффициентов уравнения регрессии на статистическую значимость проводиться с помощью t-критерия:
Для значения α = 0,05, получим α/2 = 0,025 и
значение t-критерия Стьюдента равно 
. Поскольку в матрице дисперсий-ковариаций не нулевые только диагональные элементы и равны между собой ( 
), то все доверительные интервалы равны между собой: 
Теперь проверим все коэффициенты на статистическую значимость исходя из условия: если
– то коэффициент статистически значим, если 
– то коэффициент статистически не значим. | коэффициент | b0 | b1 | b2 | b3 | b4 | b5 | b6 | b7 |
 | 36,542 | 23,292 | 13,625 | 10,458 | 1,375 | 2,375 | 5,208 | 1,875 |
| Статистически значим | + | + | + | + | - | + | + | - |
Таким образом мы получили, что коэффициенты b4и b7 – статически не значимы, поэтому мы не будем вносить их в нашу модель. И окончательный вид модели будет таким:
Число
= 6 – количество эффектов, которые вошли в структуру модели, то есть статистически значимые.Значения откликов, полученных с помощью последней модели:
| Отклик | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 | y7 | y8 |
 | -3.25 | 38.584 | 13.584 | 55.418 | 2.5 | 53.834 | 40.166 | 91.5 |
 | 3.25 | 3.251 | 3.251 | 3.249 | 0.5 | 0.499 | 0.501 | 0.5 |
Проверка модели на адекватность производиться с использованием F-критерия Фишера:
Где
– числа степеней свободы для 
и 
: 
Просчитаем экспериментальное значение:
По таблицам значения критерия Фишера (приложения 3) для q = 0,05 находим: