Системы эквивалентные системам с известным типом точек покоя (стр. 1 из 3)

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования Гомельский государственный

университет имени Франциска Скорины

Математический факультет

Кафедра Дифференциальных уравнений

Курсовая работа

«Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя»

Гомель 2005

Реферат

Курсовая работа состоит из 14 страниц, 2-х источников.

Ключевые слова: вложимая система, с известным типом точек покоя, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, класс систем эквивалентных системе с известным типом точек покоя, непрерывно дифференцируемая функция.

Целью курсовой работы является исследование системы с известным типом точек покоя, нахождение первого интеграла системы, применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем.

Содержание

Введение

Определение вложимой системы. Условия вложимости

Общее решение системы

Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования

Отражающая функция

Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем

Заключение

Список использованных источников

Введение

В курсовой работе рассматривается вложимая система с изаестным типом точек покоя. Как известно система является вложимой, если любая компонента этой системы вложима, т.е. система вложима тогда и только тогда, когда множество её решений является подмножеством множества решений некоторой линейной стационарной системы.

В 1–2 м пунктах рассматривается вложимая система, с известным типом точек покоя. Далее проверяем являются ли x и y общим решением нашей системы уравнений.

Во 3-м мы находим первый интеграл системы и проверяем выполнение тождества.

В 4-м пункте применяем теорему об эквивалентности дифференциальных систем.

1. Определение вложимой системы. Условия вложимости

Рассмотрим дифференциальную систему

D. (1)

Будем называть i-ю компоненту x

системы (1) вложимой, если для любого решения x(t)=(x (t),…, x (t)), t , этой системы функция x t , является квазимногочленом. Таким образом i-я компонента системы (1) вложима тогда и только тогда, когда для каждого решения x(t) этой системы существует линейное стационарное уравнение вида

, (2)

для которого

является решением.

Вообще говоря, порядок и коэффициенты уравнения (2) зависят от выбора решения

. В частном случае, когда компонента любого решения системы (1) является одновременно и решением некоторого, общего для всех решений уравнения (2), компоненту системы (1) будем называть сильно вложимой в уравнение (2).

2. Общее решение системы

Рассмотрим вложимую систему

(1)

(b>0 и а-постоянные) с общим решением

, если с 0;

x=0, y=at+c

, если с=0, где постоянные с, с , с связаны соотношением с (b+c +c )=a , имеет два центра в точках и .

Решение:

Подставим общее решение

в нашу систему (1) получим

=

=c(c cosct-c sinct)=

a-

Для краткости распишем знаменатель и преобразуем

x

+y +b=

=

=a+c(c

sinct+c cosct)

a-

Получаем, что x и y являются общим решением системы.

3. Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования

Рассмотрим систему

= f (t, x), x= (x ,…, x ), (t, x) (1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t , системы (1), график которого расположен в Gфункция U (t, x(t)), t , постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.

Пусть V (t, x), V:G

R, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V V R, определяемую равенством

V

(t, x(t)) t .

Лемма 1.

Для любого решения x(t), t

, системы (1), график которого расположен в G, имеет место тождество

V

t .

Без доказательства.

Лемма 2.

Дифференцируемая функция U (t, x), U:G

R, представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.