Системы эквивалентные системам с известным типом точек покоя (стр. 2 из 3)

Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы, применяя лемму 1 будем иметь тождества

U

Откуда при t=t

получим равенство U (t справедливое при всех значениях t и x(t ). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь U

при всех (t, x) Тогда для любого решения x(t) системы (1) на основании леммы1 будем иметь тождества

а с ним и достаточность.

Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). Первый интеграл U (t, x) будем называть на G, если при всех (t, x)

выполняется неравенство.

Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).

Найдем первый интеграл нашей системы:

Возведем в квадрат и выразим с

y

Положим

, получим

Проверим, что функция

– это первый интеграл системы (1), т.е. проверим выполнение тождества (2)

Найдем производные по t, x, y

После выше сделанных преобразований получаем, что функция

– это первый интеграл системы (1),

2) Положим

, т.е. ,

где

, Q

3) Проверим выполнение тождества:

(3), где

Преобразуем (3).

[в нашем случае ] = = [учитывая все сделанные обозначения] =

=

=

=

[ввиду того, что которое в свою очередь как мы уже показали есть тождественный ноль]

Таким образом, тождество (3) истинное.

4. Отражающая функция

Определение. Рассмотрим систему

(5)

cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по

. Общее решение в форме Коши обозначено через ). Через обозначим интервал существования решения .

Пусть

Отражающей функцией системы (5) назовём дифференцируемую функцию

, определяемую формулой

Для отражающей функции справедливы свойства:

1.) для любого решения

системы (5) верно тождество

2.) для отражающей функции F любой системы выполнены тождества

3) дифференцируемая функция

будет отражающей функцией системы (5) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных

и начальному условию

5. Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем

Получаем

где - любая нечетная непрерывная функция.

Наряду с дифференциальной системой

(1)

рассмотрим возмущенную систему

(2), где - любая непрерывная нечетная функция. Известно по [3], что дифференциальная система (3)

эквивалентна возмущенной системе

(4), где непрерывная скалярная нечетная функция удовлетворяющая уравнению