Многомерные последовательности Фибоначчи (стр. 1 из 3)
Государственное учреждение образования
Гимназия № 8 г. Витебска
МНОГОМЕРНЫЕ
последовательности Фибоначчи
Витебск, 2009
Содержание
Введение, основные понятия
1. Свойства последовательности
2. Упорядочивание, вычисление элементов последовательности
3. Некоторые зависимости между мнимыми тройками
4. Практическое применение, дополнения
4.1 Решение задачи «Математики играют»
4.2 Фигуры в декартовых системах координат
Заключительная часть
Направления для исследований
Литература
Введение, основные понятия
Широко известна классическая последовательность чисел Фибоначчи, в которой первые два элемента равны единице (F1=F2=1), а каждый последующий равен сумме двух предыдущих. (Fi+2=Fi+1+Fi.) В данной работе представлена последовательность, схожая по построению с последовательностью Фибоначчи, но состоящая не из чисел, а из троек чисел (Далее будем называть её трёхмерной последовательностью Фибоначчи). Цель данной работы – найти формулы зависимости между её членами, рекуррентные соотношения, общие формулы. Также в работе рассмотрены возможные применения данной последовательности: при решении задачи из турнира юных математиков (г. Минск, 2007 г.), и кроме этого, были рассмотрены фигуры в декартовых системах координат, чьи вершины имеют координаты, равные соответствующим компонентам троек.
Дадим определение основным понятиям.
· Аддитивная тройка – тройка целых чисел (a, b, c), где одно из чисел равно сумме двух других. Натуральной аддитивной тройкой назовём ту, в которой все числа натуральны, мнимой аддитивной тройкой назовём ту, в которой хотя бы одно число неположительное.
· Производная аддитивной тройки первым и вторым способом. Занумеруем переменные циклически. Пусть в некоторый момент i-1, i, i+1 – номера компонент тройки, полученные циклической перестановкой номеров 1, 2, 3, причём такой, что число с номером i равно сумме двух других. Тогда её производная «первым способом» - это тройка чисел, где числа с номерами i, i-1 остаются неизменными, а число с номером i+1 заменяется на сумму двух других. Аналогично, производная вторым способом – это та тройка, где числа с номерами i, i+1 остаются неизменными, а число с номером i-1 заменяется на сумму двух других.
· Производную первым способом от аддитивной тройки T обозначим f(T), а производную вторым способом – g(T).
Например, производные от тройки (1, 2, 3) первым и вторым способом соответственно – это тройки (5, 2, 3) и (1, 4, 3). При этом тройки вида (p+q,p,q) назовём аддитивными тройками 1 рода, тройки вида (p,p+q,q) – аддитивными тройками 2 рода, тройки вида (p,q,p+q) – соответственно аддитивными тройками 3 рода.
· Простейшие тройки – это аддитивные тройки (2,1,1), (1,2,1) и (1,1,2)
· Множество на k-том ходу – это некоторое множество, состоящее из нескольких аддитивных троек. Правила построения этих множеств будут описаны ниже. Каждая аддитивная тройка является либо простейшей тройкой, либо производной от некоторой другой аддитивной тройки.
1. Свойства последовательности
Построим последовательность, и назовём её трёхмерной последовательностью Фибоначчи. Эта последовательность будет состоять из множеств М1, М2, … и так далее. Множество М1 состоит всего из одной аддитивной тройки (2,1,1). Далее строим последовательность следующим образом: Если аддитивная тройка Т содержится в Мi, то её производная первым способом содержится в Мi+1, а производная вторым способом содержится в Мi+2. Кроме этого, множество М2 дополняется простейшей тройкой (1,2,1), а множество М3 – соответственно простейшей тройкой (1,1,2).
Понятно, что при этом аддитивные тройки 1 рода лежат в множествах М1, М4, М7, …, М3k+1, …, аддитивные тройки 2 рода соответственно лежат в множествах М2, М5, М8, …, М3k+2, …, и, наконец тройки 3 рода – соответственно в множествах М3, М6, М9, …, М3k, …
Ниже представлено схематическое изображение этой последовательности, в виде таблицы:
| Мн-во | Тройки | |Mi| | |||||||||||
| M1 |   (2,1,1) | 1 | |||||||||||
| M2 |   (2, 3, 1) |   (1, 2, 1) | 2 | ||||||||||
| M3 |   (2, 3, 5) |   (2, 1, 3) |   (1, 2, 3) |   (1, 1, 2) | 4 | ||||||||
| M4 |  (8,3,5) |  (4,3,1) |  (4,1,3) |  (3,2,1) |  (5,2,3) |  (3,1,2) | 6 | ||||||
| M5 | (8,13,5) | (4,5,1) | (4,7,3) | (5,8,3) | (3,5,2) | 10 | |||||||
| (2,7,5) | (2,5,3) | (3,4,1) | (1,4,3) | (1,3,2) | |||||||||
| … | … | 16 | |||||||||||
Заметим, что начиная с n=3, количество элементов во множестве Miравняется i-тому числу из последовательности Фибоначчи, умноженному на 2. (|Mi|=2Fi).
Действительно, каждое множество состоит из производных троек предыдущего множества, и предыдущего за ним. Поэтому его мощность равняется сумме мощностей двух предыдущих множеств. Для n³3 |Mi|=|Mi-1|+|Mi-2| (Под последовательностью Фибоначчи здесь понимается последовательность Fn, где F1=F2=1, Fi+2=Fi+1+Fi, i>1)
Номер той компоненты тройки, которая равняется сумме двух других, соответствует остатку при делении числа q на 3, где q – номер множества, в котором содержится данная тройка.
Свойства трёхмерной последовательности Фибоначчи
Докажем следующие две теоремы:
1. Все числа аддитивной тройки попарно взаимно просты.
2. Любая аддитивная тройка со взаимно простыми компонентами входит в трёхмерную последовательность Фибоначчи, причём ровно один раз.
Доказательство (Теорема 1). Посчитаем наибольший общий делитель любых двух чисел в такой тройке. По алгоритму Евклида, он равен наибольшему общему делителю в предыдущей аддитивной тройке, из которой была образована данная. Так как все такие тройки, в конечном итоге, образуются из простейших троек, в которых любые два числа взаимно просты, то в любой тройке все числа попарно взаимно просты. Теорема доказана.
Доказательство (Теорема 2). Разобьём теорему на два утверждения. Первое утверждение: «Никакая тройка в последовательности не встретится дважды». Второе утверждение: «Любая аддитивная тройка со взаимно простыми компонентами входит в трёхмерную последовательность Фибоначчи».
Обозначим за
отношение между двумя числами, сумма которых образует третье число аддитивной тройки (для удобства отношения можно брать циклически, например, если сумма стоит на втором месте в тройке, то берётся отношение третьего числа к первому; а если сумма стоит на первом месте, то рассматривается отношение второго числа к третьему). Так как числа аддитивной тройки попарно взаимно просты, то λ можно считать несократимой дробью. Для конкретной тройки Ma[b] известен номер множества, в котором она содержится, значит, можно сказать, на каком месте в тройке стоит сумма. Следовательно (так как числа взаимно просты), из несократимой дроби можно восстановить исходную тройку. Поэтому далее вместо аддитивных троек мы для удобства доказательства будем писать лишь число λ. Ясно, что если было выписано число λ, то в более нижних рядах будут выписаны числа 
и 
. Теперь докажем исходные утверждения. Понятно, что производная «первым способом», то есть f(λ) даёт тройку ( 
), а вторым способом, то есть g(λ), даёт тройку ( 
). Зная такое число, можно определить (с учётом приведенных неравенств), с помощью какой производной оно было образовано. Действительно, если λ<1, то она образована с помощью первой производной, если λ>1, то с помощью второй. Если λ=1, то эта тройка – простейшая. Итак, для каждой аддитивной тройки мы однозначно восстанавливаем её первообразные вплоть до простейшей тройки. Если бы встретились две одинаковые тройки, то они, с учётом приведенных рассуждений, были бы образованы от одной простейшей, и стояли бы в одном множестве, а значит, совпадали. Поэтому такое невозможно. Первое утверждение доказано. С другой стороны, чтобы доказать второе утверждение, достаточно рассмотреть произвольную дробь 
и показать, что с помощью приведенных выше преобразований можно получить эту дробь из единицы. Это нетрудно сделать, используя алгоритм Евклида. Если дробь больше единицы, отнимем от неё единицу. Если меньше, то разделим единицу на эту дробь. Так как числа в дроби взаимно просты, то бесконечно такие преобразования выполнять нельзя, поэтому рано или поздно мы придём к единице, а значит, такое число (и соответствующая ему аддитивная тройка) будет содержаться в 3-х мерной последовательности Фибоначчи.