Многомерные последовательности Фибоначчи (стр. 3 из 3)
Теорема
Пусть p,q – натуральные взаимно простые числа. Тогда верны следующие утверждения.
а) тройка (p+q, p, -q)=T всегда находится в трёхмерной последовательности Фибоначчи.
б) тройка (p+q, -p, q)=T находится в последовательности тогда и только тогда, когда
( 
- золотое сечение, 
)в) тройка (-p-q, p, -q)=T находится в последовательности тогда и только тогда, когда
г) тройка (-p-q, -p, q)=Tне находится в трёхмерной последовательности Фибоначчи.
Доказательство.
а) Возьмём производную от тройки, первым способом. Получим:
f(p+q, p, -q)=(p+q, p, 2p+q). То есть раз мы получили натуральную тройку, то исходная тройка действительно содержится в исходной последовательности.
г) Аналогично, возьмём производную. f(-p-q, -p, q)=(-p-q, -p, -2p-q). Получена тройка с отрицательными компонентами, а по лемме, приведенной в начале главы, такой тройки не содержится в последовательности, значит, исходная тройка в последовательности также не содержится.
в) Строя последовательно производные, получаем тройки, каждая компонента которых имеет вид Fnq-Fn+1p. Так как в конечном итоге каждая компонента должна стать больше нуля, то неравенство Fnq-Fn+1p>0 должно выполняться для всех n>M для некоторого M. При n стремящемся к бесконечности получаем
, или б) Аналогично получаем (умножая все числа в пункте в. на минус один), что каждая компонента имеет вид -Fnq+Fn+1p>0, и
.Как следствие, из троек в условии пунктов б) и в) существует ровно одна.
Исследуем содержимое множеств, используемых при построении. Через Sобозначим множество троек, содержащихся в трёхмерной последовательности Фибоначчи. Sg– это множество {g(T) | TÎS}. Множество SZ будет обозначать множество всевозможных троек с попарно взаимно простыми целыми компонентами.
Можно предположить, что выполняется следующее утверждение:
SgÈS=Sz
Также можно выдвинуть следующую гипотезу: если бы мнимая часть последовательности S строилась при помощи применения первообразной вторым способом, а не первым, то такая последовательность S0 не совпадала бы с исходной последовательностью S.
4. Практическое применение
4.1 Решение задачи «Математики играют»
Задача. У трёх математиков написаны на головах натуральные числа, причём одно из них равно сумме двух других. Каждый математик видит два других числа, но не видит своё. Каждого математика спрашивают (по кругу), знает ли он своё число. Докажите, что через некоторое время кто-то из математиков угадает число, написанное у него на лбу, причём это будет тот математик, у которого написана сумма двух других чисел.
Решение. Рассмотрим трёхмерную последовательность, где все числа умножены на одну и ту же натуральную константу a. Назовём ответ каждого математика ходом; числа первого, второго и третьего математика поместим в упорядоченную тройку в соответственном порядке. Нетрудно показать, что множество Mi содержит все возможные тройки на i-том ходу. Докажем это при помощи математической индукции. Для начала, понятно, что если тройка имеет вид (2a,a,a), то математик, видя перед собой два равных числа, определяет, что у него на голове написана не сумма чисел, а их разность. Аналогичное верно для троек (a,2a,a), (a, a, 2a). Теперь положим, что для первых k чисел доказано, что если тройка чисел (делённая на НОД чисел) находится в множестве Mk, то на k-том ходу математик, у которого на голове написана сумма, угадает своё число. Теперь рассмотрим тройку, содержащуюся в множестве Mk+1. Математик с суммой на голове (на k+1 ходу должен отвечать именно он) может рассуждать следующим образом: «Допустим, у меня на голове написана разность. Тогда я могу однозначно определить тройку чисел на наших головах. Но в этом случае ещё на предыдущем ходу математик, стоящий передо мной, угадал бы число, написанное на его голове. Следовательно, на моей голове написана не сумма, а разность». Так как было показано, что все возможные тройки содержатся в этой последовательности, то рано или поздно кто-то из математиков отгадает своё число. Более того, так как на 3k+q-том ходу отвечает q-тый математик, и по свойству последовательности, на q-том месте написана сумма двух других чисел, то угадает своё число именно тот математик, у которого на лбу написана сумма. Итак, задача доказана.
Сами по себе интересны некоторые пункты этой задачи.
· Можем ли мы, то есть «наблюдатели», зная ответ математика, угадавшего своё число, и количество ходов перед правильным ответом, определить все остальные числа?
Посмотрим, когда это возможно. Понятно, что каждая аддитивная тройка содержится в одном из множеств Mi, номер которого легко определяется из количества ходов. От нас требуется показать, что из всех аддитивных троек данного множества можно выбрать всего одну, удовлетворяющую условиям. Для начала, обозначим отношение числа, равного сумме, к ответу математика, через некоторое число p. Найдём его для каждой тройки в отдельности. Ясно, что числа на головах математиков получаются домножением всех чисел тройки на этот множитель. Условием для единственности решения является тот факт, что существует единственная тройка, в которой все три числа целые.
· Предположим, что на головах у математиков написаны произвольные целые числа (но не обязательно одно из чисел равно сумме двух других), но математики играют по тем же правилам, то есть считают, что у одного из них всё же на голове написана сумма. Самое примечательное то, что в конце концов найдётся математик, который будет считать, что отгадал своё число.
Для того, чтобы найти это количество ходов, совершим такое преобразование. Ясно, что всем тройкам в трёхмерной последовательности Фибоначчи можно поставить в соответствие некоторое рациональное положительное число (Причём это соответствие будет взаимно однозначным. Этот факт доказывался в начале работы после введения основных понятий, в доказательстве двух теорем). Если одно из таких чисел будет равняться одному из отношений чисел, записанных на головах математиков, и это число будет стоять в соответствующем множестве (номер должен иметь соответствующую кратность трём), то соответствующий математик будет утверждать, что отгадал своё число.
· Числа на головах у математиков не натуральные, а целые. В этом случае, однако, все возможных тройки ограничиваются тремя частными случаями.
· Математиков не четверо, а больше. В этом случае строится по аналогии 4х-мерная, 5-мерная, и т.д. последовательность Фибоначчи. Решение задачи почти аналогично.
4.2 Фигуры в декартовых системах координат, с вершинами в координатах, равных числам тройки
Рассмотрим фигуру в трёхмерном пространстве (возможно, это многогранник, возможно и фигура, все точки которой лежат в одной плоскости), координаты точек которой являются некоторыми тройками из 3х-мерной последовательности Фибоначчи. Исследуем для начала, вид этой фигуры в зависимости от выбранных троек.
· Тройки выбираются таким образом, что сумма чисел всегда стоит на одном и том же месте. Такие тройки или лежат в одном множестве Mi, или лежат, в множествах, чьи индексы различаются на число, кратное трём. Тогда все такие тройки лежат в одной плоскости. Действительно, пусть числа тройки обозначают, соответственно, координаты x, y, z точки, и выполняется условие x+y=z. Но широко известно, что уравнение плоскости имеет вид Ax+By+Cz=0, то есть точка с координатами (x, y, z) удовлетворяет этому условию и лежит в некоторой плоскости (одной и той же для всех таких троек (x,y,z) ). Также, если требуется, чтобы точки не лежали в одной плоскости, нужно следить за тем, чтобы ни одна из координат не была одинаковой во всех выбранных точках, иначе фигура будет лежать полностью в плоскости, перпендикулярной одному из единичных векторов.
· Итак, показано, что вершины многогранника лежат в одной из трёх плоскостей. Например, взяв четыре точки так, чтобы они не лежали в одной плоскости, мы получим тетраэдр. Теперь, зная формулы объёма через координаты точек, нетрудно его (объём) найти.
· Также можно рассматривать тройки точек и считать площади полученных треугольников, если точки не лежат на одной прямой. Для этого проецируем плоскость, содержащую эти точки, на плоскость, определяемую двумя базовыми векторами (например, плоскость Oxy, если плоскость, содержащая данные три точки, не перпендикулярна этой плоскости). А площадь спроецированного в двухмерное декартово пространство треугольника нетрудно посчитать.
Направления для исследований
· Рассмотреть другие способы построения последовательности. К примеру, рассматривать в качестве простейших троек не (2, 1, 1) и её перестановки, а некоторые другие тройки.
· Исследовать зависимости между мнимыми тройками. Также исследовать зависимости между натуральными тройками, к примеру, узнать какие тройки получаются друг из друга перестановкой элементов. Зная числа тройки, определить её положение в последовательности.
· Рассмотреть многомерные последовательности Фибоначчи, состоящие из четвёрок, пятёрок, групп из n элементов.
· Исследовать свойства последовательности, в которой n-ки строятся по следующему правилу: t=ax+by+…+cz, где t – образовываемое число, x, y, …, z –
(n-1) чисел n-ки, a, b, …,c – некоторые действительные коэффициенты.
Литература
1. Воробьёв Н.Н. Числа Фибоначчи. Москва, «Наука», 1969, 112 стр.
2. Задача «Математики играют» IX республиканского турнира юных математиков (Минск, 2007)
2. Тригг Ч. Задачи с изюминкой. Москва, «Мир», 1975, 302 стр. (задачи №№ 97, 209)