Дзета функция Римана (стр. 6 из 6)

Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s, получаем

. Обозначим левую часть через и положим , , ( , и полагаем равными нулю при ). Тогда, интегрируя по частям, находим при , или .

Но

непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале, а так как , то ( ) и ( ). Следовательно, абсолютно интегрируема на при . Поэтому при , или при . Интеграл в правой части абсолютно сходится, так как ограниченна при , вне некоторой окрестности точки . В окрестности и можно положить , где ограниченна при , и имеет логарифмический порядок при . Далее, . Первый член равен сумме вычетов в особых точках, расположенных слева от прямой , то есть . Во втором члене можно положить , так как имеет при лишь логарифмическую особенность. Следовательно, . Последний интеграл стремится к нулю при . Значит,

(4).

Чтобы перейти обратно к

, используем следующую лемму.

Пусть

положительна и не убывает и пусть при . Тогда .

Действительно, если

- данное положительное число, то ( ). Отсюда получаем для любого . Но так как не убывает, то . Следовательно, . Полагая, например, , получаем .

Аналогично, рассматривая

, получаем , значит , что и требовалось доказать.

Применяя лемму, из (4) имеем, что

, , поэтому и теорема доказана.

Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзета-функции Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому списку использованной литературы.

Список использованной литературы.

1. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II. М.,1970 г.

3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.,1999 г.

4. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.,1987 г.

5. Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.