Некоторые темы геометрии (стр. 5 из 5)

Функция называется убывающей на некотором промежутке

, если на этом промежутке большему значению независимой переменной соответствует меньшее значение функции, т.е. если и , , то .

Если функция определима и непрерывна на некотором отрезке

и на концах отрезка имеет знак, то на указанном отрезке эта функция имеет по крайне мере хотя бы одну точку, в которой .

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ

Функция

достигает своего максимума в точке , если ее значение в окрестности этой точки меньше, чем значение функции в этой же точке .

Функция

достигает своего минимума в точке , если ее значение в окрестности этой точки больше, чем значение функции в этой же точке .

Правило поиска экстремальных точек

1. Находим область определения функции

.

2. Находим производную функции

.

3. Определяем критические точки

по ее первой производной.

4. Исследуем

на знак слева и справа от найденных точек.

5. Если слева от точки

, а справа , то тогда говорят, что точка является точкой максимума.

6. Если слева от точки

, а справа , то тогда говорят, что точка является точкой минимума.

7. Если

слева и справа от критической точки не меняет знак, то говорят, что является точкой перегиба функции.

Если функции

и непрерывны при , где – некоторое положительное число, отличное от нуля и достаточно маленькое, и имеют непрерывные производные в указанной точке, а также не обращается в нуль при вычитании указанных условий, тогда можно сформулировать следующую теорему.

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Теорема Коши. Если при соблюдении предположений относительно функций

и отношение стремится к некоторому числу при , то тогда к такому же числу будет стремиться отношение функций .

Эта теорема позволяет формулировать правило Лопиталя. При раскрытии неопределенности вида

можно функцию числителя и знаменателя заменить их производными и , соответственно, и рассматривать предел вместо в указанной точке.