Некоторые темы геометрии (стр. 4 из 5)

Последовательность

называется бесконечно большой, если для любого числа найдется номер N, такой что для всех выполняется неравенство . Геометрически это обозначает, что какой бы большой номер числа последовательности мы ни взяли, то всегда найдется число, принадлежащее этой последовательности, и лежащее правее выбранного, если последовательность составлена из положительных чисел, или левее, если последовательность составлена из отрицательных. Это записывают , или .

Последовательность

называется бесконечно малой, если

ТЕОРЕМА: Для того чтобы последовательность

сходилась к числу A необходимо и достаточно, чтобы выполнилось равенство , где .

Эта теорема дает связь между пределом сходящейся последовательности и бесконечно малыми.

Функции

называется непрерывной при или в точке , если выполняется .А так как функция при этом должна быть непрерывной в точке , то должно быть справедливо .

Функция

называется непрерывной в точке , если для всех положительных, сколь угодно малых e можно указать такое положительное число , для которого выполняется неравенство для всех из отрезка .

ТЕМА 8. Производная.

ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЁ СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Если отношение

имеет предел при этот предел называютпроизводнойфункции при заданном значении и записывают .

Производная функции

в точке численно равна тангенсу угла, который составляет касательная к графику этой функции построенной в точке с положительным направлением с осью

Из определения ясно - в случае убывающей функции производная отрицательна. Это объясняется тем, что

, если будет отрицательным. На этом свойстве производной основано исследование поведения функции на возрастание (убывание) на заданном отрезке.

Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных.

.

Производная произведения равна

.

Если функция

имеет в точке производную и функция имеет в точке производную , тогда сложная функция имеет в точке производную, равную

Если

имеет в точке производную, отличную от нуля, тогда в этой точке обратная функция также имеет производную и имеет место соотношение .

Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную третьего порядка и т.д.

Пример 1.

; ; ; ...; ; .

Пример 2.

; ; ; ; . Так как , то можно предположить, что в данном случае функцию можно дифференцировать бесконечное количество раз.

Пример 3.

. . Как и во втором примере, эта функция дифференцируема бесконечное количество раз.

Пример 4.

. ; ; ; … ; ...Как следует из приведенных примеров, разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании. Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие – переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной. Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков выполняются для производных высших порядков.

ТЕМА 9. Экстремум функции.

ВОЗРАСТАНИЕ (УБЫВАНИЕ) ФУНКЦИЙ

Функция называется возрастающей на некоторомпромежутке

, если на этом промежутке большему значению независимой переменной соответствует большее значение функции, т.е. если и , то выполняется .