Некоторые вопросы геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре (стр. 1 из 6)

Введение

В развитии геометрии можно указать четыре периода.

Первый период (до 7 в. до н. э) - зарождение геометрии в Египте и Вавилоне. Геометрия этого периода - наука эмпирическая.

Второй период (7-3 в. до н. э) - греческий. В Греции геометрия тесно связана с философией. Геометрия этого периода - наука теоретическая.

В 3 в. до н.э. появились „Начала" Евклида - первая попытка построения геометрии на принципах Аристотеля (384-322 до н. э).

Третий период (17-18 в) развития геометрии связан с переходом её на качественно новую ступень по сравнению с геометрией древних. Этот период времени характерен открытием новых методов исследования и появлением различных дисциплин.

Аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия, проективная геометрия, начертательная геометрия - это всё приложения того или иного аппарата к объектам евклидовой геометрии.

Четвёртый период (с 19 в) в развитии геометрии связан с именами русского математика Н.И. Лобачевского (1793-1856), немецкого математика К. Гаусса (1777-1855) и венгерского математика Я. Бойаи (1802-1860).

Именно эти учёные независимо друг от друга пришли к открытию неевклидовой геометрии, которая называется теперь геометрией Лобачевского.

Этот период времени ознаменован более пристальным вниманием математиков к проблеме обоснований геометрии.

Почти в одно и то же время появляются различные аксиоматические системы для обоснования евклидовой геометрии. Одна из них принадлежит немецкому математику Д. Гильберту (1540-1603).

Система аксиом Гильберта состоит из пяти групп (аксиомы связи, аксиомы порядка, аксиомы конгруэнтности, аксиомы непрерывности, аксиома параллельности).

Если в этой системе аксиом заменить аксиому параллельности на аксиому Лобачевского, то мы получим аксиоматику геометрии Лобачевского, которая и рассматривается в дипломной работе.

В связи с аксиоматическим построением геометрии возникает, в частности, вопрос о непротиворечивости выбранной аксиоматики, что связано с построением некоторой модели.

В дипломной работе предлагается одна из моделей геометрии Лобачевского, а именно, модель французского учёного А. Пуанкаре (1854-1912), и с помощью её решается вопрос о непротиворечивости геометрии Лобачевского.

Заметим, что при построении модели Лобачевского большую роль играет инверсия (симметрия относительно окружности). Поэтому первая глава работы посвящена инверсии.

Глава 1. Инверсия и её свойства

1. Определение инверсии

Присоединим к евклидовой плоскости „бесконечно удалённую" точку

. Получим расширенную плоскость, обозначим её через П.

Пусть в плоскости П дана окружность (O,r) с центром O и радиусом r.

Определение. Инверсией относительно окружности (O,r) называют такое отображение П на себя, при котором всякой точке А

П, (А≠О, А≠

) ставится в соответствие точка А'

П так, что выполняются условия:

1) А'

[OA),

2) |OA|·|OA'|=

Точке О ставим в соответствие точку

и, обратно, точке

-точку О.

Символом

обозначим инверсию относительно окружности (O,r).

Отметим простейшие свойства инверсии, которые вытекают из определения.

. Пусть А

П и

(A) =A'. Тогда

(A') =A.

Точки А и А' называются инверсными.

. Инверсия является 1-1 отображением расширенной плоскости П на себя.

. Пусть А

П и

(A) =A'.

Если |OA|>r, то |OA'|<r.

Если |OA|<r, то |OA'|>r.

Если |OA|=r, то |OA'|=r.

Таким образом, точки окружности (O,r) и только они, являются при

неподвижными.

Легко выполнить построение точки, инверсной данной. Рассмотрим три возможных случая:

1) |OA|=r, то A'=A.

2) |OA|>r. Проведём [OA). Через точку А проводим касательную к (O, r). Пусть Т - точка касания. Проведём из Т перпендикуляр на [OA). Основание этого перпендикуляра и есть искомая точка А'. Действительно, из прямоугольного

ОТА имеем |OA|·|OA'|=

3) |OA|<r. В силу свойства

получаем

следующее построение: восставляем в точке А перпендикуляр к [OA), в точке пересечения этого перпендикуляра с (O, r) проводим касательную к (O, r) и в пересечении касательной с [OA) получаем искомую точку А'.

Продолжим рассмотрение свойств инверсии.

. Пусть A

Пи В

Пи

(A) =A',

(B) =B'.

Тогда

Доказательство.

ОАВ~

ОВ'А',

тогда

Учитывая, что

получаем

Введём понятие сложного отношения четырёх точек.

Определение.

. Инверсия сохраняет сложное отношение четырёх точек.

Доказательство. Даны точки A, B, C, D.

(A) =A',

(B) =B',

(D) =D'. Используя предыдущее свойство, имеем:

Отсюда получаем

Тогда

т.е. (ABCD) = (A'B'C'D').

Замечание.

Пусть A'=

(A). Имеем

Откуда, перемножив, получаем

Зафиксируем точку В, а r пусть неограниченно возрастает, тогда |AB|=|A'B|, т.е. инверсия относительно „окружности бесконечно большого радиуса" есть симметрия относительно прямой.

2. Аналитическое задание инверсии

Пусть A'=

(A), где А

O, А

. Введём на плоскости декартову прямоугольную систему координат так, чтобы её начало совпало с точкой О.

Пусть x, y - координаты точки А, x', y'-координаты точки А'. Выразим х и у через х' и у'. Имеем А' [OA) и

Очевидным образом получаем