Некоторые вопросы геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре (стр. 4 из 6)
-касательная к а в точке А (см. рис.2).
Итак, имеем неевклидово движение
, преобразующее uв А, vв В, т.е.[AB]
[uv].Докажем, что [AB]
[BA].Рассмотрим
, где 
- касательная из точки 
к а, тогда а=I (a), B=I (A), A=I (B).Итак, имеем неевклидово движение
, преобразующееА в В, В в А, т.е. [AB]
[BA].Прежде чем продолжить проверку аксиом конгруэнтности, рассмотрим
Замечание 1. Критерий конгруэнтности отрезков на модели Пуанкаре.
Рассмотрим упорядоченные четвёрки точек A, B, M, N и C, D, P, Q.
Доказательство.1) Пусть
. Докажем, что (ABMN) = (CDPQ).Т.к.
, то существует неевклидово движение 
, такое, что 
. Остаётся показать, что 
. Учитывая, что - конечная цепочка инверсий с центрами на f, и каждая инверсия сохраняет величину угла, имеем 
.Т. к.
, то 
, 
.Итак, (ABMN) = (CDPQ).
Пусть (ABMN) = (CDPQ). Докажем, что
.
Рассмотрим
;тогда
, 
Рассмотрим
;тогда
, 
.Рассмотрим
, где 
, (OF) - касательная из точки О к с. Тогда 
, 
, 
.Покажем, что
.Имеем
, 
, тогда (ABMN) = (C 
PQ).Учитывая условие теоремы, получаем (CDPQ) = (C
), откуда 
, т.е. D и принадлежат окружности Аполлония ( 
), которая пересекает с в единственной точке, поэтому .Итак, существует неевклидово движение
, такое, что 
т.е. .Замечание 2. Критерий конгруэнтности углов на модели Пуанкаре.
Пусть
- евклидова величина неевклидова угла (а,b), 
- евклидова величина неевклидова угла (c, d). 
. 
Доказательство.1) Пусть
, тогда существует неевклидово движение : 
Т. к.
- это конечная цепочка инверсий, а инверсия сохраняет величину углов, то 
.2)
Пусть
. Рассмотрим неевклидово движение , такое, что .Пусть
. Если 
окажется по отношению к неевклидову лучу с в той же полуплоскости, что и d, то 
, т.к инверсия сохраняет величину углов.Если же
окажется в другой полуплоскости относительно луча с, то рассмотрим инверсию 
.Т.к. с - является биссектрисой угла (
), то 
.Имеем неевклидово движение
, такое, что 
, 
, откуда .Вернёмся к проверке аксиом конгруэнтности.
. Пусть [AB] [UV], [CD] [UV]. Покажем, что . 
Т.к. [AB]
[UV], то (ABMN) = (UVLK) (1)Т. к. [CD]
[UV], то (CDPQ) = (UVLK) (2)Из (1) и (2) имеем (ABMN) = (CDPQ), откуда
(см. критерий конгруэнтности отрезков на модели Пуанкаре).
. Пусть имеет место ABCи 
, и 
, 
. Покажем, что 
.
Т.к.
, то 
(1)Т.к.
, то 
(2)