Некоторые вопросы геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре (стр. 2 из 6)

откуда находим

(1)

3. Преобразование окружности и прямой при инверсии

Пусть (O, r)

П. Рассмотрим окружность S П. Найдём (S).

Введём на плоскости систему координат хОу. Пусть в этой системе координат окружность S имеет уравнение

A (

) +Bx+Cy+D=0 (2)

Подвергнем S инверсии

. Подставляя в (2) вместо х и у их выражения из (1), получим

A

+B x'+C y'+D ( ) =0 (3)

Если D=0, т.е. если O

S, то (S) - прямая, не проходящая через О.

Если D

0, т.е. если O S, то (S) - окружность, не проходящая через точку О.

Итак, доказана.

Теорема 1. Если окружность проходит через центр инверсии, то она преобразуется при инверсии в прямую, не проходящую через центр инверсии; если окружность не проходит через центр инверсии, то она преобразуется в окружность, не проходящую через центр инверсии.

Аналогично доказывается следующая.

Теорема 2. Если прямая проходит через центр инверсии, то она преобразуется при инверсии в себя; если прямая не проходит через центр инверсии, то она преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии.

4. Сохранение углов при инверсии

Определение. Прямые a и b назовём антипараллельными относительно

О, если .

Лемма. Если

(A) =A' и (B) =B', то прямые АВ и А'В' антипараллельны.

Доказательство получим, рассмотрев

ОАВ и ОА'В'.

Теорема 3. Инверсия сохраняет величину углов.

Доказательство. Пусть fи g-кривые, выходящие из точки А, f'=

(f), g'= (g) и A'= (A).

Проводим из точки О луч, пересекающий fи g в точках В и С соответственно. Пусть B'=

(B), C'= (C). По лемме прямые АВ и А'В', АС и А'С' антипараллельны. Значит, OA'B'= OBA

и

OA'C'= OCA, тогда

C'A'B'= OA'B' - OA'C'= OBA- OCA= CAB.

Переходя в равенстве

C'A'B'= CAB к пределу при АОС 0 (луч ОС приближаем к лучу ОА), получим утверждение теоремы.

Замечание. Доказанное свойство позволяет легко строить образы прямых и окружностей при инверсии.

Пусть, например, дана прямая L и

Проведём луч l с началом О, перпендикулярно L.

Пусть

A'= (A).

В силу теорем 2 и 3 заключаем, что L'=

(L) - окружность с диаметром ОА'.

5. Инвариантные прямые и окружности

Из теоремы 2 следует, что прямые, проходящие через центр инверсии, и только они, отображаются при

на себя, т.е. эти прямые инвариантны при .

Мы уже отмечали, что

( (O,r)) = (O,r), т.е. окружность (O,r) инвариантна при .

Существуют ли другие окружности, инвариантные при

? Ответ на этот вопрос даёт следующая.

Теорема 4. Пусть S-окружность, отличная от (O,r).

(S) =S тогда и только тогда, когда S ортогональна (O,r),

Доказательство. Допустим, что

(S) =S. Ясно, что S пересекает (O,r) в двух точках, скажем, A и B.

Имеем

.

Согласно теореме 3

( (O,r) ^

) = ( (O,r) ^ ),

а это означает ортогональность S и (O,r).

Докажем обратное. Пусть теперь (O,r) ортогональна S, A и B - точки пересечения S и (O,r).

Проведём в точке А касательные к S и (O,r), которые пройдут через центры окружностей (O,r) и S соответственно.

Отсюда ясно, что S-единственная окружность, ортогональная (O,r) и проходящая через точки A и B.

Так как

(если допустить, что , то (S) - прямая, ортогональная (O,r) и не проходящая через точку O, что невозможно), то (S) - окружность, ортогональная (O,r) и проходящая через точки A и B. Значит, (S) =S.

Теорема 5. Окружность, проходящая через две инверсные точки, преобразуются при инверсии в себя.

Доказательство. Пусть A'=

(A), S - окружность такая, что и . Пусть B - произвольная точка S и B'= , тогда

,

т.е.

(B) =B', а это значит, что

(S) =S'.

Следствие. Окружность, проходящая через две инверсные точки, ортогональна к окружности инверсии.

Рассмотрим далее две задачи, которые нам потребуются в дальнейшем изложении.

Задача 1. Дана прямая и окружность. Найти инверсию, переводящую прямую в окружность.

Дана прямая l и окружность S с центром в точке С. Проведём (СР)