Показательно-степенные уравнения и неравенства (стр. 9 из 12)

: (х+1)

, где

;

1)

или

Решаем биквадратное уравнение

Примем

, тогда получим

D = 3² – 4*1*(-4) = 25

;

или

а)

б)

; (не удовлетворяет ОДЗ)

- решение системы уравнений.

2)

или

- (не удовлетворяет ОДЗ)

D = (-1)² -4*4*3 = -47 – корней нет.

Ответ:

. [ ]

Пример № 36

Решение

Для любого х

и ОДЗ этого уравнения состоит из всех х удовлетворяющих условию , т.е. ОДЗ есть множество всех х из промежутка на этом множестве. Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений.

и

Решаем ее.

принадлежат . Они и являются решениями исходного уравнения.

Ответ:

.

Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.

Неравенства вида

(или меньше) при а(х)>0 и решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а(х) < 1 при сравнении f(x)и g(x) знак неравенства меняется, а при а(х) > 1 – сохраняется.

Самый сложный случай при а(х) < 0. Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х показатели f(x) и g(x) будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию

Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а(х) = 0 или а(х) = 1 (например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.

Пример 1.

Решить неравенство:

2^3x:+⁷ < 2^2x-1.

Решение.

Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла: Зх + 7 < 2х - 1. Решив это неравенство, получим х < -8.

Ответ:-8.

Пример 2.

Решить неравенство:

Решение.

Так как 625 = 25²=

, то заданное неравенство можно записать в виде

Так как 0 < 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла 5х - х² - 8 = -2. Имеем последовательно

,

,

,

.

Решив последнее неравенство, получим 2

х

3.

Таким образом множество решений заданного неравенства есть отрезок [2; 3].

Ответ: [2; 3].

Пример 3.

Решим неравенство

0,5^7-Зх < 4.

Решение

Пользуясь тем, что 0,5 ^-2 = 4, перепишем заданное неравенство в виде

0,5^7-Зх < 0,5^-2. Показательная функция y= 0,5^x убывает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное неравенство равносильно неравенству 7 – Зх > - 2, откуда х < 3.

Ответ: ( — оо ; 3).

Пример 4.

Решим неравенство

Показательная функция y = 6^x возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству х² + 2x > 3, решая которое, получим: (-оо; -3)

и (1; оо).

Ответ: (-оо; -3) и (1; оо).

Пример 5.

Решим неравенство:

Сделаем замену

, тогда и неравенство перепишется в виде , откуда . Следовательно, решением данного неравенства являются числа х, удовлетворяющие неравенствам , и только такиечисла. Но , , а функция убывает,

поскольку

< 1. Поэтому решением неравенств будут числа х, удовлетворяющие неравенствам - 2 < х < 1.

Ответ: ( - 2; 1).

Пример 6.

Решение

1)