Показательно-степенные уравнения и неравенства (стр. 3 из 12)
Итак, для полного решения уравнения
рассматриваем случаи:1. а(х) = О . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x)и g{x)будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет
2. а(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.
3. а(х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x)и g(x)являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет
4. При
и 
решаем уравнение f(x)= g(x)и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.Примеры решения показательно-степенных уравнений.
Пример №1.
Решение
1)x – 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и 32 > 0, то x1 = 3 - это решение.
2)x – 3 = 1, x2 = 4.
3)x – 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x3 = 1.
4)x – 3 ≠ 0 и x ≠ ± 1. x = x2, x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)0 = (-3)0 –верно это решение x4 = 0. При x = 1, (-2)1 = (-2)1 – верно это решение x5 = 1.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.
Пример №2.
Решение
По определению арифметического квадратного корня: x – 1 ≥ 0, x ≥ 1.
1)x – 1 = 0 или x = 1,
= 0, 00 это не решение.2)x – 1=1 x 1 =2.
3)x – 1 = -1 x2 = 0 не подходит в ОДЗ.
4)
= 
Д = (-2) – 4*1*5 = 4 – 20 = -16 – корней нет.
Ответ: 2.
Пример №3.
Решение
1)
= 0 решения нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.2)
≠ 0 т.е. 
. Тогда можем записать: 
3)
= 1. 
= 0 
и 
4)
= -1 х = 0 или х = 1. При х = 0 
= -1. (-1)-1 ≠ (-1)0. Это не решение. При х = 1 (-1)0 = (-1)0. Это решение х3 = 1.5)
≠ 0 и ≠ ±1 имеем = 0, 
= -1 или = 1. Эти корни уже учтены.Ответ: -1, 1, 2.
Пример №4.
Решение
1) При
решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.при
, 
2)
, 
.3)
, 
. 
, (-1)0 = (-1)0 это решение. .4)
и 
или 
При
(-4)0 = 1 – верно. 
Ответ: -1, 2, 4.
Пример №5.
Решение
1)
, , 
это не решение.2)
, 
и 
.3) отрицательных значений основание не имеет. При
и 
, 
, 
,х = 5, 315 = 315 – верно. х3 = 5,
х = 2 – не является решением.
Ответ: 1,3,5.
Пример №6
Решение
1)
не дает решений, т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.2)
. 
или 
.3) отрицательных значений
не имеет.4) При
, 
, т.к. , то . Проверка 20 = 1 – верно. 
Ответ: -1, 1, 2.
Пример №7
Решение
1)
, 
, 
, 
. Это решение 
.2)
, 
.3)
, 
, 
- четное и -3х – четное. Это решение. х2 = -4.4)
и 
, 
, 
, 
, 4-3 = 4-3 – верно. 
.Ответ: -4, -3, -2, 1
Пример №8