Изгиб бруса (стр. 4 из 6)

§2. центр изгиба

Как уже было отмечено, поперечный изгиб бруса может сопровождаться кручением. Это происходит, как правило, тогда, когда главная центральная ось поперечного сечения, с которой совпадает линия действия изгибающей силы

, не является осью симметрии сечения. Возникающее в этом случае кручение можно устранить путем приложения изгибающей силы по линии, параллельной главной центральной оси и проходящей через определенную точку в плоскостипоперечного сечения, называемую центром изгиба. Центромизгибаназывается точка, относительно которой сумма моментов всех касательных сил возникающих при поперечном изгибе,равна нулю. Очевидно, что для определения положения центра изгиба необходимо предварительно решить задачу изгиба, т. е. определить функции и Обозначим координаты центра изгиба через (рис. 4).

Рис.4

Тогда по определению имеем:

(27)

или

(28)

Здесь M – момент сил

и относительно начала координат :

(29)

и – поперечные силы в направлении осей и :

(30)

(31)

Если брус изгибается только силой

, параллельной главной центральной оси то равенство (28) принимает вид:

(32)

Учитывая выражения (18) для

и формуле (29) можно придать вид

Первый интеграл в последнем равенстве преобразуем с учетом:

Тогда в случае односвязного (сплошного) поперечного сечения имеем:

(33)

Формулы (32) и (33) позволяют определить координату

центра изгиба, когда брус изгибается силой , линия действия которой параллельна главной плоскости .

Центр изгиба всегда расположен на оси симметрии сечения. Если сечение имеет две оси симметрии, то центр изгиба совпадает с точкой их пересечения, т. е. с центром тяжести сечения.

ГЛАВА III

Частные случаи задачи об изгибе бруса

§ 1. ИЗГИБ БРУСА ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Рассмотрим поперечный изгиб консольного бруса силами, распределенными на его торце и приводящимися к силе

, направленной по оси (рис.5)

Рис.5

Контур эллиптического поперечного сечения определяется уравнением:

(34)

На основании (19) функция напряжений

на контуре сечения обращается в нуль:

(35)

если произвольная функция

(36)

Уравнение (26) с учетом выражения (36) для функции

принимает вид:

(37)

Граничное условие (35) выполняется, если функция напряжений

, которая должна также удовлетворять уравнению (37), имеет вид:

(38)

Подставив выражение (38) в уравнение (37), найдем, что последнее удовлетворяется при следующем значении постоянной

(39)

Итак, функция напряжений

, определяющая решение рассматриваемой задачи, представляется в виде:

(40)

По формулам (18) находим:

(41)

Для точек оси

поперечного сечения получаем:

(42)

т. е. имеем неравномерное, зависящее от коэффициента Пуассона, распределение напряжений по горизонтальному диаметру. Касательное напряжение в центре сечения (

) равно:

(43)

Где

– площадь поперечного сечения.

В точках 1 и имеем:

(44)

Так как

то Из сопоставления формул (43) и (44) вытекает, что наибольшее касательное напряжение будет в центре сечения:

Если

существенно больше , то имеем:

(45)

При

максимальное значение напряжения может оказаться больше . Наибольшей величины напряжение достигает в точках, для которых выражение:

имеет максимум, т. е. при

. Эти точки являются точками пересечения контура эллиптического сечения с диагоналями описывающего его прямоугольника, т. е. точки (рис. 5). В этих точках имеем :

(46)

Ha рис. 5приведены эпюры напряжений

вдоль оси и напряжений по линиям и при и

Отметим, что касательные напряжения значительно меньше максимального нормального напряжения

в сечении , равного на основании (11)