Изгиб бруса (стр. 2 из 6)

Получив решение данной задачи, можно определить, в частности, усилия связей на

, которые должны быть приложены в точках поверхности , чтобы реализовать заданные перемещения на этой поверхности, а также можно вычислить перемещения точек поверхности .

§ 3. прямая и обратная задачи теории упругости

Различают две постановки задач теории упругости: прямую и обратную. Прямаязадача состоит в решении одной из основных задач указанных трех типов (см. § 2), т. е. в определении девяти функций

и определяющих напряженно-деформированное состояние тела в зависимости от внешнего воздействия на него.

Решение прямой задачи часто сопряжено с большими математическими трудностями.

Обратнаязадача состоит в том, что, задавшись либо перемещениями

как непрерывными функциями либо компонентами тензора напряжений, т. е. шестью функциями определяют из основных уравнений (1)—(4) и соответствующих граничных условий все остальные функции, а также внешние силы, осуществляющие заданные перемещения или заданные функции

Решение обратной задачи значительно проще, чем решение прямой задачи. Особенно просто решается обратная задача, если задаться перемещениями

. При заданных непрерывных функциях дифференциальные зависимости Сен—Венана тождественно удовлетворяются и, следовательно, в этом случае они не используются. Решение этой обратной задачи выполняется в следующем порядке: на основании формулы закона Гука (4) определяются компоненты тензора напряжений , соответствующие принятым функциям а из уравнений равновесия (3) и граничных условий (6) определяются внешние силы, при которых осуществляются заданные перемещения.

Если задаваться компонентами тензора напряжений

, то решение обратной задачи будет несколько сложнее. В этом случае перемещения находятся интегрированием уравнений (1), что возможно, если компоненты тензора деформации , которые определяются формулой (5) закона Гука по принятым функциям ,, будут удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана (2). Следовательно, компонентами тензора напряжений , надо задаваться так, чтобы выполнялись условия совместности (2). Это обстоятельство и осложняет решение данной обратной задачи. Но решение и этой обратной задачи для односвязной области проще, чем решение прямой задачи.

§ 4. полуобратный метод сен-венана

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы, например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана.

Сущность полуобратного метода Сен-Венана состоит в том, что при решении конкретной задачи, например, в напряжениях задаются из соображений физического характера задачи некоторыми компонентами тензора напряжений и затем определяют остальные компоненты

,,из уравнений равновесия (3) при выполнении условий совместности Бельтрами—Мичелла:

(9)

или (когда массовые силы

постоянны или в частности равны 0)

(10)

и граничных условий (6).

Может случиться, что сделанные предположения о значениях некоторых компонент тензора напряжений будут противоречить или уравнениям равновесия, или граничным условиям, или условиям совместности Бельтрами—Мичелла. В этих случаях следует сделать иные предположения о значениях части компонент

, исходя, например, из известных решений аналогичных задач. В этом смыслеполуобратный метод Сен-Венана не является совершенным. Однако когда сделанные предположения о значениях некоторых компонент тензора напряжений или для некоторых компонент вектора перемещения, если задача решается в перемещениях, не противоречат всем основным уравнениям граничной задачи, то полученное решение полуобратным методом является точным и на основании теоремы о единственности однозначным.

Сен-Венан в 1855 применил полуобратный метод при решении задачи об упругом равновесиипризматического бруса произвольного поперечного сечения, находящегося под действием поверхностной нагрузки на его торцах. Эта задача, представляющая большой практический интерес (кручение и изгиб призматического бруса), называется задачей Сен - Венана.

ГЛАВА II

Изгиб прямых брусьев

§1. постановка задачи и основные уравнения

Имеем брус постоянного поперечного сечения, ограниченного произвольным контуром

(рис. 2):

Рис. 2

Начало координат совместим с центром тяжести закрепленного левого торца бруса, направив по его оси координатную ось

а оси и — по главным осям поперечного сечения так, чтобы система осей была правая. Длину бруса обозначим через .

Рассмотрим изгиб бруса силой

, направленной параллельно оси к которой приводятся поверхностные силы на незакрепленном правом торце ( . Предполагается, что массовые силы , а боковая поверхность бруса свободна от сил .

Задачу будем решать в напряжениях полуобратным методом Сен-Венана, т. е. сделав определенные предположения относительно значений некоторых компонент тензора напряжений. Допустим, что

(11),

где

- момент инерции поперечного сечения относительно оси .

Остальные две искомые компоненты тензора напряжений

и должны удовлетворять уравнениям равновесия (3), условиям совместности Бельтрами (10) и граничным условиям (6).