Распределение Пуассона Аксиомы простейшего потока событий (стр. 2 из 8)

Если

,то . Зададим . Величина такая, что может быть найдена из уравнения при помощи таблиц для функций Лапласа. Эти же рассуждения применим к . По заданному можно найти так, чтобы . Из неравенства следует, что , откуда можно вычислить оба значения и , которые представляют доверительные оценки для . Если выбрано достаточно малым, то случайный интервал “покрывает” почти наверное.

1.1.2 Доверительные оценки для параметров нормального закона

1.1.2.1 Доверительная оценка

при известном

, , тогда .

Соответственно,

.

Для стандартной нормальной случайной величины с уровнем значимости

нижняя и верхняя критические границы соответственно равны и .

Имеем

или

.

.

Таким образом,

- доверительная оценка для параметра a с мерой надежности .

1.1.2.2 Доверительная оценка

при неизвестном

Оценка основана на том факте, что при высказанных предположениях величина

удовлетворяет t- распределению с n-1 степенями свободы.

Определяя одностороннюю критическую точку

из условия ,получим доверительную оценку для а в виде

.

Для конкретной выборки

объема n доверительная оценки для а становится ее доверительным интервалом.

1.1.2.3 Доверительная оценка

при неизвестном

Отправной точкой является тот факт, что при заданных предпосылках величина

удовлетворяет - распределению с n-1 степенями свободы. По заданному уровню значимости и степенями свободы находим критические точки и распределения такие, что

,

, или .

Таким образом ,

есть доверительная оценка с мерой надежности .

1.2 Метод наибольшего правдоподобия

Пусть дана выборка

объема n из генеральной совокупности с непрерывно распределенной случайной величиной X. Пусть плотность вероятности X содержит неизвестный параметр , который следует оценить по выборке, и имеет вид .

Функцией правдоподобия называют функцию параметра

, определяемую соотношением

. (1.2.1)

Рассмотрим случай дискретной случайной величины X с возможными значениями

и вероятностями . Обозначим через наибольшее из возможных значений, которое встречается в выборке, а через — абсолютные частоты, с которыми появляются значения в выборке . В этом случае функцией правдоподобия называют функцию параметра , определяемую соотношением

. (1.2.2)

Метод наибольшего правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки параметра берется значение, при котором функция правдоподобия достигает своего максимума.

Параметр

находят, решая относительно уравнение

. (1.2.3)

Часто вместо (1.2.3) используют уравнение

, (1.2.4)

Если плотность

или вероятности зависят от параметров, то наиболее правдоподобную оценку системы параметров получают решением системы уравнений

(1.2.5)

или

. (1.2.6)

Наиболее правдоподобные оценки имеют некоторые замечательные свойства. При достаточно общих условиях они являются состоятельными и асимптотически нормально распределенными (однако не всегда несмещенными), имеют среди всех асимптотически нормально распределенных оценок наибольшую эффективность. Справедливо следующее положение: если вообще имеется эффективная оценка, то она получается методом наибольшего правдоподобия.

Пример 1.2.1 Оценить вероятность

некоторого события . Пусть