Комплексные числа избранные задачи (стр. 9 из 20)

Решение

Данное неравенство равносильно выполнению двух условий:

и . Если положить , то получаем следующие неравенства:

.

Преобразуем его

,

, ,

Получаем

.

Искомая область – круг с центром в точке (0; 2) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (0; 1) (рис. 21).

Рис. 21.

Задача 45. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

.

Решение

Положим

.

Тогда

, .

Неравенство

при равносильно неравенству или . Последнее неравенство задает круг с центром в точке (0; 0,5) и радиусом 0,5 включая границу круга. Вследствие ограничения точка (0; 0) не принадлежит заданному множеству (рис. 22).

Рис. 22

Задача 46. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам:

.

Решение

Представим число

как . Тогда

;

.

По условию,

, откуда

; ;

.

Левая часть двойного неравенства задает область, лежащую вне круга с центром в точке K(–0,5; 0,5) и радиусом 1. правая часть задает круг с центром в точке K и радиусом 2. В каждом случае граница не включается в заданное множество. Искомое множество точек изображено на рис. 23.

Рис.23.

Задача 47. Из всех чисел

, удовлетворяющих условию , найдите такие, что принимает наименьшее значение.

Решение

I способ.

Пусть

. Тогда .

Уравнение

задает на комплексной плоскости окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 5. С геометрической точки зрения величина представляет собой сумму расстояний от точки, соответствующей комплексному числу , до точек A(7; 0) B(0; 7), соответствующих числами 7 и 7i. Из рис. 24 видно, что окружность с центром в O и радиусом 5 пересекает отрезок AB в двух точках P и Q. Эти точки и будут соответствовать тем комплексным числам, для которых величина принимает наименьшее значение.

Действительно, для точек P и Q значение

равно длине отрезка AB, а для любой точки Nокружности, отличной от P и Q, в силу неравенства треугольника справедливо соотношение AN+BN>AB.

Рис. 24.

Найдем координаты точек P и Q. Эти точки лежат на прямой AB, которая задается уравнением

. Решим систему

Так как

, то перейдем к системе

Уравнение

имеет корни 3 и 4, поэтому решениями системы являются пары (3; 4) и (4; 3). Таким образом, точкам P и Q соответствуют числа и .

II способ. Пусть

. Тогда (см. I способ);

.

Найдем пары (x; y), для которых достигается минимум функции при условии . Поскольку функция принимает не отрицательное значения при всех допустимых x и y, вместо минимума функции φ можно рассматривать минимум функции

.

Преобразуем последнее выражение к виду

,

так как

, то ,

откуда

.

Произведем замену

и найдем значение t, для которых достигается минимум функции или , или после замены – те значения p, при которых минимально выражение .

Исследуем функцию

с помощью производной. Имеем ; , если , т.е. если , а . Последнее равенство выполняется при .

Нетрудно убедиться в том, что если

, то , т.е. убывает, а если , то , т.е. возрастает. При функция принимает наименьшее значение.

Значению

соответствует , при . Отсюда, учитывая соотношение , находим , или , и получаем окончательный ответ.