Комплексные числа избранные задачи (стр. 18 из 20)
3) Если
, то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями 
, с вершинами в точках 
, 
и асимптотами 
и 
.Ответ: а) 1. Если
, то – уравнение оси абсцисс, исключая точку 
.2. Если
, то – семейство концентрических окружностей с центром в точке 
радиуса 
.б) 1. Если
, то – семейство из двух прямых с уравнениями и .2. Если
, то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями 
, с вершинами в точках 
, 
и асимптотами и .3. Если
, то – семейство равносторонних гипербол с уравнениями , с вершинами в точках , и асимптотами и .Задача 75. При каких значениях n верно равенство
.Решение
Тригонометрическими формами записи комплексных чисел
и 
, являются 
и 
.Возведем в степень n, получим
и 
.Тогда:
Ответ:
Задача 76. При каком значении d
уравнением 
задана ось ординат в комплексной плоскости, исключая начало координат?Решение
О.О.У.:
Пусть
. Тогда 
. 
. 
, 
.Если
, то получим уравнение 
.Ответ:
.Задача 77. Среди всех комплексных чисел z таких, что
, где 
, есть ровно одно число, аргумент которого равен 
. Найдите это число.Решение
Запишем искомое число в тригонометрической форме:
. Тогда 
и 
.Перейдем к уравнению
, где . Получаем квадратное уравнение 
, где , 
. 
.Рассмотрим 2 случая:
1.
: 
, 
. Тогда 
и 
.2.
: 
.Введем функцию
. Интересует случай, когда один из корней квадратного трехчлена больше 0, а другой – меньше 0 (Рис. 34). 
Рис. 34.
Достаточно решить систему неравенств:
Эта система несовместна, поэтому такой случай невозможен.Ответ:
.Задача 78. При каких действительных значениях a среди комплексных чисел
таких, что 
, нет ни одного числа, модуль которого равен 2.Решение
Комплексное число
с модулем 
запишется так: 
.Тогда
.Получим уравнение
.1.Если
, то уравнение действительных решений не имеет.2.Пусть
: 
Решая систему методом «лепестков» (Рис. 35), видим, что она несовместна.
Рис. 35.
3.
: 
, 
.Последнее уравнение не имеет корней, если a удовлетворяет системе:
