Уравнения и способы их решения (стр. 6 из 10)

,

откуда

. Корни образовавшихся квадратных уравнений - и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.

Решение Декарта-Эйлера

подстановкой

приводится к "неполному" виду

. (16)

Корни

, , , "неполного" уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений

,

в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие

,

причем

, и - корни кубичного уравнения

.

Уравнения высоких степеней

Разрешимость в радикалах

Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени

( ) можно "обслужить" одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.

После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:

Общее уравнение степени

при

неразрешимо в радикалах.

Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени

, не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида

, ,

с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его "Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах" (1832 г.; опубликован в 1846 г.).

Подчеркнем, что в прикладных задачах нас интересует только приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.

Уравнения, которые решаются

Хотят уравнения высоких степеней в общем случае неразрешимы в радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на вступительных экзаменах в институты иногда встречаются задачи, где требуется решить уравнения выше второй степени. Обычно их специально подбирают так, чтобы корни уравнений можно было найти с помощью некоторых элементарных приемов.

В основе одного из таких приемов лежит теорема о рациональных корнях многочлена:

Если несократимая дробь

является корнем многочлена

с целыми коэффициентами, то ее числитель

является делителем свободного члена

, а знаменатель

- делителем старшего коэффициента

.

Для доказательства достаточно подставить в уравнение

и умножить уравнение на . Получим

.

Все слагаемые в левой части, кроме последнего, делятся на

, поэтому и делится на , а поскольку и - взаимно простые числа, является делителем . Доказательство для аналогично.

С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами испытанием конечного числа "кандидатов". Например, для уравнения

,

старший коэффициент которого равен 1, "кандидатами" будут делители числа –2. Их всего четыре: 1, -1, 2 и –2. Проверка показывает, что корнем является только одно из этих чисел:

.

Если один корень найден, можно понизить степень уравнения. Согласно теореме Безу,

остаток от деления многочлена

на двучлен

равен

, т. е.

.

Из теоремы непосредственно следует, что

Если

- корень многочлена

, то многочлен делится на

, т. е.

, где

- многочлен степени, на 1 меньшей, чем

.

Продолжая наш пример, вынесем из многочлена

множитель

. Чтобы найти частное , можно выполнить деление "уголком":