Уравнения и способы их решения (стр. 2 из 10)

Два уравнения

и

называют эквивалентными, если каждое из них является следствие другого, и пишут

.

Таким образом, два уравнения считаются эквивалентными, если множество решений этих уравнений совпадают.

Уравнение

считают эквивалентным двум (или нескольким) уравнениям , , если множество решений уравнения совпадает с объединением множеств решений уравнений , .

Н е к о т о р ы е э к в и в а л е н т н ы е у р а в н е н и я:

Уравнение

эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.

Уравнение

эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.

эквивалентно двум уравнениям и .

Уравнение

эквивалентно уравнению .

Уравнение

при нечетном n эквивалентно уравнению , а при четном n эквивалентно двум уравнениям и .

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида

,

где

– многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.

Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, сводящееся к уравнению вида

+ + ... + + ,

где n – неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена

, , , ..., , называются коэффициентами (или параметрами) уравнения и считаются заданными; х называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью уравнения.

Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (реже решениями) алгебраического уравнения.

Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида F(х)

, где F – одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Так же существуют формулы и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.

Так вот, главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшим.

Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое решение, которое заключается в том, чтобы представить левую и правую части уравнения как две одинаковые функции от неизвестного. Затем строится график сначала одной функции, а затем другой и точка(и) пересечения двух графиков даст решение(я) исходного уравнения. Примеры графического решения всех уравнений даны в приложении.

Линейное уравнение

Линейным уравнением называется уравнение первой степени.

, (1)

где a и b – некоторые действительные числа.

Линейное уравнение всегда имеет единственный корень

, который находится следующим образом.

Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число

, получаем уравнение

, (2)

эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину

, получаем корень уравнения (1):

.

Квадратное уравнение

Алгебраическое уравнение второй степени.

, (3)

где

, , – некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение (3) называется приведенным.

Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

,

Выражение

называется дискриминантом квадратного уравнения.

При этом: