Принятие решений в условиях риска 3 (стр. 2 из 8)

Если a_ij = ω_j, то риск r_ij, является максимальным. Следовательно, по критерию риска стратегия А_i в этом случае наихудшая.

Если β_j = ω_j, то все выигрыши j-столбце матрицы игры равны между собой: ω_j = a_1j = a_2j = … = a_mj = β_j и риск r_ij = 0. Поэтому в этом случае любая стратегия игрока А при состоянии природы П_j безрисковая.

Для матрицы А матрица рисков R_A имеет ту же размерность и следующий вид:

Таблица 2 – Матрица рисков

RA =	Пj Аi	П1	П2	…	Пn
	А1	r11	r12	…	r1n
	А2	r21	r22	…	r2n
	…	…	…	…	…
	Аm	rm1	rm2	…	rmn

Отметим, что матрица выигрышей А однозначно порождает матрицу рисков R_A, поскольку каждый риск r_ij однозначно определяется соответствующими показателем благоприятности β_j состояния природы П_j, и выигрышем a_ij. Обратное неверно: одна и та же матрица рисков может соответствовать разным матрицам выигрышей.

В понятии оптимальной стратегии лежат различные соображения, составляющие содержание соответствующих критериев оптимальности стратегий.

Перед тем как переходить к выбору оптимальной стратегии, целесообразно возможности упростить матрицу А, уменьшив число строк на основании принципа доминирования стратегий игрока А.

1.2 Упрощение матрицы игры

Если какая-нибудь из стратегий игрока А окажется доминирующей каждую из остальных его стратегий, то она и должна выбираться игроком А в качестве предпочтительной, поскольку его выигрыш при этой стратегии и при любом состоянии природы П не меньше выигрыша при любой из остальных стратегий.

Если же матрица игры не обладает указанным свойством, т.е. у игрока А нет стратегии, доминирующей каждую из остальных его стратегий, то нужно посмотреть, нет ли у него доминируемых или дублирующих стратегий. При наличии таковых, соответствующие им строки матрицы можно удалить, уменьшив тем самым ее размерность.

Таким образом, в играх с природой можно и полезно пользоваться принципом доминирования стратегий игрока А (строк матрицы игры). Однако принцип доминирования стратегий (состояний) природы (столбцов матрицы игры) недопустим, поскольку природа не выбирает свои состояния с целью по возможности большего уменьшения выигрышей игрока А, для нее нет более или менее эффективных состояний.

1.3 Критерий Байеса относительно выигрышей

Предположим, что статистик из прошлого опыта известны не только состояния П_j, j = l, ..., п, в которых может находиться природа П, но и соответствующие вероятности q₁ , ..., q_n с которым природа П реализует эти состояния. Тогда мы находимся в ситуации принятия решения в условиях риска.

Показателем эффективности стратегии А_i по критерию Байеса относительно выигрышей называется среднее значение, или математическое ожидание выигрыша i-й строки с учетом вероятностей всех возможных состояний природы. Обозначая это среднее значение через ā_i, будем иметь:

ā_i = q₁a_i1 + q₂a_i2 + … + q_na_in =

, i=1, …, m. (6)

Таким образом, a_t представляет собой взвешенное среднее выигрышей i-й строки, взятых с весами q₁ , ..., q_n.

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно выигрышей считается стратегия А_i0 с максимальным показателем эффективности, т.е. с максимальным средним выигрышем:

ā_i0 = max ā_i. (7)

^{1≤ i ≤m}

Таким образом, выбранное решение по этому критерию является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем.

Распространим понятие показателя эффективности по критерию Байеса относительно выигрышей на смешанные стратегии игрока П.

Пусть P = ( p₁ , ..., p_n ) - некоторая смешанная стратегия игрока А, при которой чистая стратегия А_i используется им с вероятностью p_i, i=1, ..., т. Тогда выигрыш игрока А при смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) и при состоянии природы П_j будет равен

H (P, П_j) =

, j=1, …, n. (8)

Показателем эффективности смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) по критерию Байеса относительно выигрышей назовем среднее значение выигрышей, с учетом вероятностей q₁ , ..., q_n состояний природы. Обозначим этот показатель через

.

Получим:

=

=

=

= . (9)

Таким образом показатель эффективности смешанной стратегии P = ( p₁ , ..., p_n ) по критерию Байеса относительно выигрышей представляет собой взвешенное среднее показателей эффективности чистых стратегий А_i, i = l, ..., m, по тому же критерию с весами p_i, i = l, ..., m.

Если, в частности, стратегия P = ( p₁ , ..., p_n ) является чистой стратегией А_k, k = l, ..., m, то p_i = 0 i ≠ k, p_k = 1, и ее показатель эффективности как смешанной стратегии

, превращается в ее показатель эффективности как чистой стратегии ā_k, вычисляемый по формуле (6).

Пусть S_A - множество всех смешанных (в том числе и чистых) стратегий игрока A. Оптимальной среди всех стратегий множества S_A по критерию Байеса относительно выигрышей назовем стратегию P⁰, показатель эффективности (9) которой максимален:

max

= . (10)

^{P ϵSa}

Стратегия А_i0 оптимальная среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно выигрышей, является оптимальной по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий множества S_A.

При принятии решений в условиях риска по критерию Байеса относительно выигрышей можно обойтись только чистыми стратегиями, не используя смешанные.

1.4 Критерий Байеса относительно рисков

Рассмотрим ту же игру с природой матрицей, в которой известны вероятности состояний природы q₁ , ..., q_n. При принятии решений в условиях риска можно пользоваться не только средними выигрышами, но и средними рисками. Составим матрицу рисков для матрицы A, используя формулу рисков (3)

Таблица 3 – Матрица рисков

Пj Аi	П1	П2	…	Пn
А1	r11	r12	…	r1n
А2	r21	r22	…	r2n
…	…	…	…	…
Аm	rm1	rm2	…	rmn

Показателем неэффективности стратегии А_i по критерию Байеса относительно рисков называется среднее значение, или математическое ожидание риска i-й строки матрицы (таблица 3), вероятности которых, очевидно, совпадают с вероятностями состояний природы. Обозначим средний риск при стратегии А_i через ṝ_i, тогда

ṝ_i = q₁ r_i1 + q₂ r_i2 + … + q_n r_in =

, i=1, …, m. (11)