Многочлены над кольцом классов вычетов (стр. 5 из 6)

Доказательство. Для доказательства формулы (23) положим

, , , и рассмотрим многочлен

(12)

Многочлен

является общим кратным многочленов f, g и, следовательно, делится на h. Теперь рассмотрим многочлен . Равенства , показывают, что - общий делитель многочленов f, g; следовательно, делит d, т.е. , где q - некоторый многочлен. Отсюда получаем: , т.е. . Стало быть, h делится на . Таким образом, h и ассоциированы, т.е. , где , . Из (24) получаем тогда, что , что и требовалось доказать.

Из формулы (12) вытекает

Следствие. Наименьшее общее кратное двух взаимно простых многочленов равно их произведению.

8. Сравнения многочленов по многочлену.

Пусть, например,

- кольцо вычетов по простому модулю p. Два многочлена будем называть эквивалентными, если они определяют одну и ту же функцию на . Так как в кольце имеется p элементов, то из следствия теоремы 3 непосредственно вытекает следующее утверждение:

Теорема 6. Если многочлены

, имеющие степень не выше чем , эквивалентны, то они равны.

Определение. Два многочлена

и называются сравнимыми по многочлену , если они при делении на дают одинаковые остатки

.

Пример. Многочлены

и сравнимы по многочлену , так как они имеют одинаковый остаток при делении это 1.

Теорема 7. Для любых многочленов

и :

.

Доказательство. Разделим многочлены

и с остатком на :

, , .

Если

, то и разность - делится на . Обратно, если , то из равенства

- следует, что . А так как , то по свойству отношения делимости в кольце имеем , т.е. , или .

Теорема 8. Для многочленов

, , ,

, ,

Где

- любая из операций (т.е. сравнения можно почленно складывать, вычитать и перемножать).

Доказательство. Из условия, согласно теореме 7, имеем

- , - , т. е. , .

Складывая, вычитая и перемножая последние равенства, получим:

,

,

.

Отсюда видно, что разность

делится на при любой операции . Следовательно ,

Теорема 9. Если

- общий делитель многочленов и , то

,

т.е. обе части сравнения и многочлен можно делить и умножать на один и тот же многочлен.

Доказательство. Так как

- общий делитель многочленов , , то существуют многочлены , , такие, что: , , . Отсюда и из определения делимости многочленов, учитывая отсутствие делителей нуля в кольце, получим: