Теорема. Решетка всех

-насыщенных формаций

модулярна.
Доказательство. Пусть

,

,

-

-насыщенные формации и кроме этого

. Покажем, что

Рассмотрим такие

-локальные спутники

, что

и

при всех

, где

. Ввиду теоремы справедливо равенство

. Пусть

. По лемме имеем

Из леммы вытекает, что

- внутренний

-локальный спутник формации

.
Понятно, что

при всех

. Значит, при всех

имеет место равенство

Следовательно,

. Но

- внутренний

-локальный спутник формации

. Значит, согласно теореме , получаем

откуда следует требуемое равенство. Теорема доказана.
Следствие 1. всех

-насыщенных формаций модулярна.
Следствие 2. всех насыщенных формаций модулярна.
Лемма. Подрешетка модулярной решетки модулярна.
Пусть

- некоторая

-насыщенная формация. Обозначим через

- множество всех внутренних

-локальных спутников формации

.
Теорема. Пусть

непустая

-насыщенная формация. Тогда имеют место следующие утверждения:
1) множество

c операциями

и

образует полную решетку;
2) решетка

является модулярной.
Д о к а з а т е л ь с т в о.1) Относительно операции

множество

является частично упорядоченным. Кроме этого для любых двух

-локальных спутников

и

по лемме существуют такие

-локальные спутники

и

, что

и

, т.е. для любых двух

-локальных спутников из

существует как наибольший, так и наименьший элементы. Следовательно,

является решеткой.
Покажем, что

является полной решеткой. Так как формация

-насыщена, то по теореме у формации

имеется такой

-локальный спутник

, что

и

для всех

. Этот

-локальный спутник является каноническим. По определению канонического спутника получаем, что для любого

выполнено включение

.
Применяя лемму , получаем, что для любой непустой совокупности внутренних

-локальных спутников формации

из

существует наименьший элемент, равный пересечению этих

-локальных спутников. При этом этот элемент является точной нижней гранью. По лемме получаем, что

является полной решеткой.
2) Пусть

- внутренние

-локальные спутники формации

, причем

, т.е.

для любого

.
Покажем, что выполнено

Возьмем произвольное

из

. Тогда

,

и

- являются некоторыми формациями, причем все эти формации содержатся в формации

. По теореме и лемме получаем, что для любого

, в силу модулярности решетки всех формаций, выполнено равенство

Но тогда

Таким образом,

является модулярной решеткой. Теорема доказана.