Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 7 из 18)

Определение.Полная решетка называется алгебраической, если любой ее элемент является решеточным объединением компактных элементов.

Определение.Атомом решетки

называют наименьший ненулевой элемент, т.е. , то в не существует такого, что .

Определение.Пусть

- произвольный -локальный спутник. Символом обозначают класс групп

Если для формации

выполнено равенство , то говорят, что - -локальный -спутник формации .

Минимальным

-локальным -спутником формации называют ее -локальный -спутник со следующими значениями:

Лемма. Пусть

- минимальный -локальный -спутник формации , . Тогда включение имеет место в том и только том случае, когда .

Лемма. Пусть

- минимальный -локальный -спутник формации , . Тогда - минимальный -локальный -спутник формации .

Теорема. Решетка всех

-насыщенных формаций является алгебраической.

Доказательство. По лемме

является полной решеткой. Поскольку каждая -насыщенная формация, очевидно, является решеточным объединением своих однопорожденных -насыщенных формаций, то для доказательства теоремы достаточно показать, что каждая однопорожденная -насыщенная формация является компактным элементом в .

Пусть

- некоторая однопорожденная -насыщенная формация, - -насыщенная формация, содержащая , где - -насыщенная формация, .

Пусть

- минимальный -локальный -спутник формации , - минимальный -локальный -спутник формации , - минимальный -локальный -спутник формации . Согласно определению минимального -локального -спутника формации для всех и

Ввиду леммы

. Согласно лемме

Ввиду алгебраичности решетки всех формаций (см. ) для каждого фиксированного

существует конечное число индексов ( ) таких, что

И существует набор индексов

,..., таких, что

Тогда

. Таким образом

Итак, решетка всех

-насыщенных формаций алгебраична, и ее компактными элементами являются однопорожденные -насыщенные формации. Теорема доказана.

Следствие 1. Решетка всех

-насыщенных формаций является алгебраической.

Следствие 2. Решетка всех насыщенных формаций является алгебраической.

Определение.Решетка называется модулярной, если для любых элементов

, , решетки таких, что выполняется .