Доказательство. Прежде заметим, что поскольку

, то

. А поскольку

и для всех

имеет место

то

и

. Значит,

. Лемма доказана.
Определение.Непустое множество формаций

называют полурешеткой формаций, если пересечение любого множества из

снова принадлежит

.
Определение.Пусть

- формация, имеющая

-локальный спутник

. Если

является минимальным (максимальным) элементом множества всех

-локальных спутников формации

, то

называют минимальным (соответственно максимальным)

-локальным спутником формации

.
Пусть

- полурешетка формаций. Если формация

обладает

-локальным спутником

, то формация

обладает

-локальным спутником

. Значит, множество всех тех формаций, которые имеют хотя бы один

-локальный спутник, является полурешеткой формаций.
Пусть

- некоторый класс групп. Через

обозначают пересечение всех тех

-насыщенных формаций, которые содержат

, т.е.

- наименьшая

-насыщенная формация, содержащая формацию

. В частности, если

, то пишут

form

.
Теорема. Если

и

- минимальный

-локальный спутник формации

, то справедливы следующие утверждения:
1)

;
2)

для всех

;
3)

и

- некоторый фиксированный элемент из

, то

, где

для всех

,

и, кроме того,

;
4)

, где

и

для всех

Из теоремы и леммы непосредственно вытекает
Следствие. Пусть
и
- минимальные
-локальные спутники формаций
и
соответственно. Тогда
в том и только в том случае, когда
. Определение.Пусть

-

-насыщенная формация.

-Локальный спутник

формации

называется каноническим, если

и

для всех

.
Замечание 1. Согласно теореме всякая

-локальная формация

имеет

-локальный спутник

, который является каноническим. Такие спутники обозначают большими латинскими буквами.
Ясно, что если

и

- произвольный внутренний

-локальный спутник формации

, то ввиду леммы

.
Если формация

, то

для всех

.
Из следствия теоремы следует
Лемма. Пусть

и

. Тогда

в том и только в том случае, когда

.
Определение.Через

,

обозначают такие

-локальные спутники

и

соответственно, что

и

для любого

.