Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 17 из 18)

Таким образом,

- решетка с дополнениями. Тогда, применяя лемму , получаем

Так как

то, в силу произвольности выбора группы , получаем

Достаточность. Пусть теперь

. Пусть - произвольная -насыщенная формация, принадлежащая решетке , т.е. .

Обозначим через

множество всех минимальных -насыщенных неразрешимых подформаций, содержащихся в , а через - множество всех минимальных -насыщенных неразрешимых подформаций, не содержащихся в . Очевидно, что множество является дополнением к множеству во множестве всех -насыщенных неразрешимых подформаций, содержащихся в . Пусть - -насыщенныя формация, порожденная множеством , а - -насыщенная формация, порожденная множеством . Поскольку и , то ввиду леммы имеют место равенства

Допустим, что

не содержится в , то есть . Тогда по лемме в имеется минимальная -насыщенная неразрешимая формация . По лемме для некоторого . Следовательно, . Но . Противоречие. т.е. . Но в таком случае . Ввиду леммы и произвольности выбора формации , каждый элемент решетки представим в виде объединения содержащихся в нем атомов.

Покажем теперь, что в решетке

дополняема каждая -насыщенная формация. Если , то дополнением к в решетке является формация . Итак, можем считать, что . Обозначим через множества всех атомов решетки , через - множества всех атомов решетки , которые содержатся в . Тогда , иначе, ввиду доказанного выше,

Пусть

- дополнение к в и

Так как по условию

то ввиду леммы имеет место равенство Рассмотрим формацию . Так как и являются элементами решетки , то . Допустим, что не содержится в , т.е. . Тогда по лемме формация содержит минимальную -насыщенную неразрешимую подформацию . Следовательно, содержит формацию . По лемме формация - атом решетки , содержащийся в . Так как содержится в , то, применяя теперь лемму , имеем

Полученное противоречие показывает, что

. Таким образом, формация - дополнение к в решетке . А, следовательно, - решетка с дополнениями. Теорема доказана.

Если

, то из теоремы вытекает

Пусть

- некоторая насыщенная неразрешимая формация и

- множество всех минимальных насыщенных неразрешимых подформаций из

. Тогда и только тогда

- решетка с дополнениями, когда