Насыщенные формации заданной структурой подформаций (стр. 10 из 18)

Доказательство. Достаточность. Предположим, что

. Тогда, поскольку имеет место решеточный изоморфизм, и, согласно условию, , получаем . Значит, если - такая максимальная подформация в , что , то . Противоречие. Значит, . Поэтому . Следовательно, .

Необходимость. Если

- такая максимальная подформация формации , что , то очевидно, . Предположим, что в имеется максимальная подформация такая, что

Тогда

. Следовательно,

Поэтому, согласно лемме ,

Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Насыщенные формации с

-нильпотентным дефектом 1.

Проблема классификации формаций того или иного вида является одной из основных задач теории формаций. Как известно, существенную роль в реализации задачи классификации насыщенных формаций играют так называемые минимальные насыщенные не

-формации (или иначе -критические формации). Впервые особая роль минимальных насыщенных не -формаций была отмечена Л.А. Шеметковы в его докладе на VI симпозиуме по теории групп . Там же им была поставлена задача изучения такого рода формаций.

Стремительно развивающаяся в последние годы теория частично насыщенных формаций, наряду с разработкой новых специфических методов исследования, активно использует методы и конструкции, развитые в теории насыщенных формаций. Одним из таких методов является метод критических формаций. Благодаря которому, результаты о минимальных насыщенных не

-формациях широко использовались при решении различных вопросов теории насыщенных формаций.

Пусть

- холловская -подгруппа группы . Группу называют -нильпотентной, если нормальная подгруппа в группе .

Группу

называют -нильпотентной, если она -нильпотентна для любого .

Обозначим через

- формацию всех -нильпотентных групп.

Определение.Пусть

- некоторая -насыщенная формация. -Дефект формации называют -нильпотентным дефектом.

Определение.

-Насыщенная формация называется минимальной -насыщенной не -нильпотентной формацией, если , но все собственные -насыщенные подформации из содержатся в .

Лемма. Пусть

- формация классического типа, - непустая -насыщенная формация. Тогда если , то в имеется по крайней мере одна минимальная -насыщенная не -подформация.

Следствием леммы является следующая

Лемма. Пусть

- произвольная -насыщенная не -нильпотентная формация. Тогда в имеется по крайней мере одна минимальная -насыщенная не -нильпотентная подформация.

Лемма. Тогда и только тогда

является минимальной -насыщенной не -нильпотентной формацией, когда , где - такая монолитическая группа с минимальной нормальной подгруппой , что , и либо и P - -нильпотентный корадикал группы , либо , и выполняется одно из следующих условий: