Применение производной при нахождении предела (стр. 2 из 5)
2.2 Теорема Ролля о нуле производной
Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f (a) =f (b). Тогда
$ x0Î (a,b): f¢ (x0) =0.
Доказательство. Положим
, 
.Хотя бы одна из точек x1, x2 внутренняя и для этой точки утверждение следует из теоремы Ферма.
2.3 Теорема Лагранжа о конечных приращениях
Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то
$xÎ (a,b): f (b) - f (a) =f¢ (x) (b-a).
Доказательство. Рассмотрим функцию
.Для этой функции F (a) =F (b) =0, и к ней применима теорема Роля
.Геометрическая интерпретация
Существует точка, касательная в которой, параллельна хорде, соединяющей точки A и B графика.
Следствие 1. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f¢ (x) º0 на (a,b), то f (x) ºconst.
Применяя теорему к произвольному отрезку [x0,x], где x0произвольная фиксированная точка, получим
f (x) - f (x0) =f¢ (x) (x - x0) =0, т.е. f (x) = f (x0).
Следствие 2. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f¢ (x) =g¢ (x) на (a,b), то f (x) =g (x) + const.
2.4 Теорема Коши о конечных приращениях
Теорема. Если f, g непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b), то существует
xÎ (a,b): g¢ (x) (f (b) - f (a)) = f¢ (x) (g (b) - g (a)).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F (x) = g (x) (f (b) - f (a)) - f (x) (g (b) - g (a)).
Для этой функции
F (a) = g (a) (f (b) - f (a)) - f (a) (g (b) - g (a)) = g (a) f (b) - f (a) g (b),
F (b) = g (b) (f (b) - f (a)) - f (b) (g (b) - g (a)) = - f (a) g (b) +g (a) f (b),
таким образом, F (a) =F (b) и к ней применима теорема Ролля: существует точка xÎ (a,b) для которой выполняется равенство
0=F (b) - F (a) =F¢ (x) (b-a) = [g¢ (x) (f (b) - f (a)) - f¢ (x) (g (b) - g (a))] (b-a).
Следствие. Если g¢ (x) ¹0 на (a,b), то
.
Доказательство. Если g¢ (x) ¹0, то g (b) - g (a) ¹0. Иначе, в случае g (b) =g (a), по теореме Ролля нашлась бы точка x, где g¢ (x) =0.
3. Раскрытие неопределенностей. правило лопиталя
3.1 Раскрытие неопределенностей вида 0/0
Дано: f (x), g (x) определены на (x0,b) и
1) 
2) f,g дифференцируемы на (x0,b)
3) g¢ (x) ¹0 на (x0,b).
Тогда
,
если существует конечный или бесконечный предел
.
Доказательство. Доопределим f, g в точке x0 по непрерывности нулем f (x0) =g (x0) =0. По тереме Коши, примененной к отрезку [x0,x], будет существовать x (x) Î (x0,x): x0<x (x) < x и
, из условия x0<x (x) <x следует, что 
, причем x (x) ¹x0, если x¹x0. По теореме о существовании предела суперпозиции 
= 
ч. т.д.Замечание. Аналогично это утверждение доказывается для левой окрестности. Откуда получаем утверждение для x® x0.
Следствие 1. Если
1) Существуют f (k),g (k), k=1,2,…,n на (x0,b)
2) 
, k=0,1,…,n-1
3) Существуeт g (n) (x) ¹0 на (x0,b), то
,если
существует, конечный или бесконечный.
Следствие 2. Если f, g дифференцируемы для x>a,
, то 
,если последний существует, конечный или бесконечный.
Доказательство. Сделаем замену
Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x® - ¥.
3.2 Раскрытие неопределенностей вида ¥/¥
f,g определены на (x0,b) и
1)
2) f,g дифференцируемы на (x0,b)
3) g¢ (x) ¹0 на (x0,b)
Тогда
,если последний существует конечный или бесконечный.
Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x® x0 - 0, x® x0, x® +¥, x® - ¥.
3.3 Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
В некоторых случаях порядок бесконечно малой или бесконечно большой можно определить, последовательно вычисляя производные. Предположим, что f (x) - бесконечно малая при x® x0 и в точке x0 обращаются в ноль все производные до (n-1) - го порядка включительно f (x0) =0, f¢ (x0) =0,…, f (n-1) (x0) =0 и f (n) (x0) ¹0. В этом случае порядок этой бесконечно малой будет равен n. При этом главная часть будет равна
. Это утверждение следует из равенства
,в котором в качестве функции g (x) берется (x-x0) n.
.Похожее утверждение можно сформулировать и для бесконечно больших функции.
Пример: f (x) = 3sh x - 3sin x - x3при x® 0
f¢ (x) = 
=0,f¢¢ (x) = 
=0,f¢¢¢ (x) = 
=0,f (4) (x) = 
=0,f (5) (x) = 
=0,f (6) (x) = 
=0,f (7) (x) = 
=6¹0.
Таким образом, порядок этой бесконечно малой равен 7 и f (x) ~ 
x7, x®0.
3.4 Раскрытие неопределенностей вида 0¥, 1¥, 00,¥0,¥ - ¥
Неопределенности вида 0¥ сводятся к уже рассмотренным.
Примеры.
1)
2)
3)
4) ¥ - ¥
Можно, например, так
5) Неопределенности вида 1¥,00,¥0 сводятся к уже рассмотренным логарифмированием
y=uv=ev ln u
Пример 1.
.Вычисление.
.Этот предел рассматриваем, как
,где
, а 
.Из теоремы о существовании предела суперпозиции двух функций следует, что
. Далее 
,заменяя знаменатель на эквивалентную бесконечно малую получим
= 
.Таким образом,
.