Динамическое и линейное программирование (стр. 13 из 13)

вариация портфеля ценных бумаг:

риск портфеля ценных бумаг:

Следовательно, математическая формализация задачи формирования оптимального портфеля ценных бумаг:

Найти такое распределение долей капитала, которое минимизирует вариацию эффективности портфеля, при заданной ожидаемой эффективности портфеля

.

Тогда, если оптимальное решение обозначить как *, то:

	означает рекомендацию вложить долю капитала в ценные бумаги i‑го вида
	Означает возможность проведения операции “shortsale”, т.е. краткосрочного вложения доли капитала в более доходные ценные бумаги

Если на рынке есть безрисковые ценные бумаги, то решение задачи о формировании портфеля ценных бумаг приобретает новое качество.

Пусть:

	Эффективность безрисковых ценных бумаг
	Доля капитала, вложенного в безрисковые ценные бумаги
	Средняя ожидаемая эффективность рисковой части портфеля
	Вариация рисковой части портфеля
	Среднее квадратическое отклонение эффективности рисковой части портфеля

Тогда в рисковую часть портфеля вложена

часть всего капитала, а т.к. считается, что безрисковые ценные бумаги некоррелированы с остальными, то ожидаемая эффективность всего портфеля ценных бумаг:

вариация портфеля ценных бумаг:

риск портфеля ценных бумаг:

Допустим, что задача состоит в нахождении распределения капитала, при формировании оптимального портфеля ценных бумаг заданной эффективности, состоящего из трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 3 и некоррелированных рисковых, с ожидаемой эффективностью 5 и 9, риски которых равны 4 и 6, т.е.:

, , , ,

Тогда, вариации некоррелированных рисковых ценных бумаг первого и второго вида:

Следовательно, матрица

ковариаций рисковых видов ценных бумаг и вектор‑столбец ожидаемой эффективности рисковых видов ценных бумаг имеют вид:

Пусть

- двухмерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1, т.е.:

Тогда значение вектора-столбца

оптимальных значений долей, вложенных в рисковую часть портфеля ценных бумаг:

Где:

Т.е.:

Таким образом, доли рисковых ценных бумаг в оптимальном портфеле:

,

Следовательно, доля безрисковых ценных бумаг в оптимальном портфеле:

Т.к. необходимость проведения операции “short sale” возникает, когда

, то в данном случае, необходимость проведения операции “short sale” возникает, когда :

, т.е. когда .