Кольцо целых чисел Гаусса (стр. 6 из 7)

Все простые множители в разложении числа

входят в степени кратной трем, а множители вида , в степени кратной шести, так как простое гауссово число получается из разложения на простые гауссовы 2, но , поэтому . Сколько раз встречается в разложении на простые множители числа , столько же раз и встречается в разложении на простые множители числа . В силу того, что делится на тогда и только тогда, когда делится на . Но союзно с . То есть они распределятся поровну, значит, будут входить в разложения этих чисел в степенях кратной трем. Все остальные простые множители, входящие в разложение числа , будут входить только либо в разложение числа , либо числа . Значит, в разложении на простые гауссовы множители числа все множители будут входить в степени кратной трем. Следовательно число есть куб. Таким образом имеем, что . Отсюда получаем, что , то есть должно быть делителем 2. Значит , или . Откуда получаем четыре удовлетворяющие нам варианта.

1.

, . Откуда находим, что , .

2.

, . Отсюда , .

3.

, . Отсюда , .

4.

, . Отсюда , .

Ответ:

, , , .

Задача 2.

Решить в целых числах

.

Представим левую часть как произведению двух гауссовых чисел, то есть

. Разложим каждое из чисел на простые гауссовы множители. Среди простых будут такие, которые есть в разложении и . Сгруппируем все такие множители и обозначим полученное произведение . Тогда в разложении останутся только те множители, которых нет в разложении . Все простые гауссовы множители, входящие в разложение , входят в четной степени. Те которые не вошли в будут присутствовать либо только в , либо в . Таким образом, число является квадратом. То есть . Приравнивая действительные и мнимые части, получим, что , , .

Ответ:

, , .

Задача 3.

Количество представлений натурального числа в виде суммы двух квадратов.

Задача равносильна задаче о представлении данного натурального числа в виде нормы некоторого числа Гаусса. Пусть

— число Гаусса, норма которого равна . Разложим на простые натуральные множители.

, где — простые числа вида , а — простые числа вида . Тогда, чтобы было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо, чтобы все были четными. Разложим на простые гауссовы множители число , тогда

,

где

— простые гауссовы числа, на которые раскладываются .

Сравнение нормы

с числом приводит к следующим соотношениям, необходимым и достаточным для того, чтобы :