Кольцо целых чисел Гаусса (стр. 3 из 7)
Доказательство.
Пусть такой делитель
является составным числом. Тогда 
, где 
и 
необратимые гауссовы числа. Перейдем к нормам, и согласно (3) получим, что 
. Так как эти нормы натуральны, то имеем, что 
, а в силу (12), является необратимым делителем данного числа Гаусса, что противоречит выбору .Ч.Т.Д.
Утверждение 6.
Если 
не делится на простое гауссово число 
, то НОД( , )=1.
Доказательство.
Действительно, простое число делится только на числа союзные с 1 или с . А так как
не делится на , то на союзные с тоже не делится. Значит, их общими делителями будут только обратимые числа.Ч.Т.Д.
Лемма 7. Лемма Евклида.
Если произведение гауссовых чисел делится на простое гауссово число 
, то хотя бы один из множителей делится на .
Доказательство.
Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда произведение содержит только два множителя. То есть покажем, что если
делится на 
, то либо делится на , либо делится на .Пусть
не делится на , тогда НОД( 
, )=1. Следовательно, существуют такие гауссовы числа 
и 
, что 
. Умножим обе части равенства на , получим, что 
, отсюда следует, что 
, как сумма чисел делящихся на .Ч.Т.Д.
1.4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ.
Любое ненулевое гауссово число можно представить в виде произведения простых гауссовых чисел, причем это представление единственно с точностью до союзности и порядка сомножителей.
Замечание 1.
Обратимое число имеет в своем разложении нуль простых множителей, то есть представляется самим собой.
Замечание 2.
Более точно единственность формулируется следующим образом. Если имеются два разложения на простые гауссовы множители, то есть 
, то 
и можно так перенумеровать числа 
, что 
будет союзно с 
, при всех 
от 1 до 
включительно.
Доказательство.
Доказательство проведем индукцией по норме.
База. Для числа с единичной нормой утверждение очевидно.
Пусть сейчас
— ненулевое необратимое гауссово число, и для всех чисел Гаусса с нормой меньшей 
утверждение доказано.Покажем возможность разложения на простые множители. Для этого обозначим через
необратимый делитель , имеющий наименьшую норму. Этот делитель должен быть простым числом по утверждению 5. Тогда 
. Таким образом, мы имеем 
и по индуктивному предположению 
представимо в виде произведения простых чисел. Значит, раскладывается в произведение этих простых и .Покажем единственность разложения на простые множители. Для этого возьмем два произвольных таких разложения:
.По лемме Евклида в произведении
один из множителей должен делиться на 
. Можно считать, что 
делится на , иначе перенумеруем. Так как они простые, то 
, где 
обратимо. Сокращая обе части нашего равенства на , получим разложение на простые множители числа 
, по норме меньшего, чем . 
.По индуктивному предположению
и можно перенумеровать числа 
так, что 
будет союзно с 
, 
с 
, …, 
с 
. Тогда 
и при этой нумерации союзно с при всех от 1 до 
включительно. Значит, разложение на простые множители единственно.Ч.Т.Д.
Пример однопорожденного кольца над 
без ОТА.
Рассмотрим
. Элементами этого кольца являются числа вида 
, где 
и 
произвольные целые числа. Покажем, что в нем не выполняется основная теорема арифметики. Определим в этом кольце норму числа 
следующим образом: 
. Это действительно является нормой, так как нетрудно проверить, что 
. Пусть 
и 
. Тогда