Замечание. Нетрудно доказать (например по индукции), что условия 1) – 5) по данной системе
однозначно определяют систему векторов
.
7.Многочлены Лежандра. В математическом анализе и его приложениях приходится использовать разложение произвольных функций в ряды по данным функциям, рассматривая такие разложения функций аналогично разложениям векторов по данному базису. При этом удобно иметь аналоги ортогонального базиса; таковыми являются ортогональные системы функций. Одним из простейших примеров ортогональных систем являются многочлены Лежандра.
В пространстве непрерывных функций на отрезке
вводится квадратичная метрика со скалярным произведением
(12)
Соответственно
(13)
Следует определить внимание на ее положительную определенность:
, причем
тогда и только тогда, когда непрерывная функция
во всех точках отрезка.
Возьмем систему одночленов
(14)
и причем к ней процесс ортогонализации. В результате получим последовательность многочленов
(15)
Номера многочленов (15) выбраны так, чтобы они совпадали с их степенями. Коэффициенты многочленов вычисляются согласно формулам (9) с учетом (10), (11), (12) и (14).
После специальной нормировки вида
где
выбираются из условия
(16)
Получаем последовательность многочленов
называемых многочленами Лежандра. Можно доказать, что
(17)
Учитывая замечание в п. 6, для этого достаточно проверить, что все многочлены (17) попарно ортогональны и что они удовлетворяют условию (16).
Можно доказать также, что
Таким образом, система многочленов Лежандра ортогональна, но не нормирована.
Глава II. Аффинные преобразования
2.1 . Аффинные преобразования на плоскости
В компьютерной графике все, что относится к двумерному случаю принято обозначать символом (2D) (2-dimention).
Допустим, что на плоскости введена прямолинейная координатная система. Тогда каждой точке М ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (х, у) ее координат (рис. 5). Вводя на плоскости еще одну прямолинейную систему координат, мы ставим в соответствие той же точке М другую пару чисел – (x*, y*).
Переход от одной прямолинейной координатной системы на плоскости к другой описывается следующими соотношениями:
x*=ax+ by +l, (2.1)
y*=gx+ by + m, (2.2)
где a, b, g, l, m -- произвольные числа, связанные неравенством:
(2.3)Формулы (2.1) и (2.2) можно рассматривать двояко: либо сохраняется точка и изменяется координатная система (рис. 6) – в этом случае произвольная точка М остается той же, изменяются лишь ее координаты (х, у) | (х*, y*), либо изменяется точка и сохраняется координатная система (рис. 7) – в этом случае формулы (2.1) и (2.2) задают отображение, переводящее произвольную точку М (х, у) в точку М* (х*, у*), координаты которой определены в той же координатной системе.
X*
Y*
В дальнейшем, формулы (2.1) и (2.2) будут рассматриваться как правило, согласно которому в заданной системе прямолинейных координат преобразуются точки плоскости.
В аффинных преобразованиях плоскости особую роль играют несколько важных частных случаев, имеющих хорошо прослеживаемые геометрические характеристики. При исследовании геометрического смысла числовых коэффициентов в формулах (2.1) и (2.2) для этих случаев удобно считать, что заданная система координат является прямоугольной декартовой.
1.Поворот вокруг начальной точки на угол j (рис. 8) описывается формулами:
х* = xcosj - ysinj, (2.3)
y* = xsinj - ycosj. (2.4)
2. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей можно задать так:
x* = ax, (2.5)
y* = dy, (2.6)
a > 0, d > 0. (2.7)
Растяжение (сжатие) вдоль оси абсцисс обеспечивается при условии, что a > 1 (a < 1). На рис. 5 a = d > 1.
2.Отражение (относительно оси абсцисс) (рис. 10) задается при помощи формул:
x* = x, (2.8)
y* = -y. (2.9)
3.На рис. 11 вектор переноса ММ* имеет координаты l, m. Перенособеспечиваетсоотношения:
x* = x + l, (2.10)
y* = y + m. (2.11)
