Многомерная геометрия 2 (стр. 3 из 9)

Ясно, что скалярное произведение (e_I, e_j) = 0, если i

j, то есть при i

j,

то есть при i

jбазисные векторы ортогональны. При этом

= 1, если

i = 1,…, k;

= - 1,если i= k + 1,…, n. Тем самым векторы базиса нормированы так, что квадраты их норм по модулю равны единице. Векторы e_i называются единичными, если i

k, мнимоединичным, если i

k + 1. Вообще вектор a называется единичным, если

мнимоединичным, если .

Определение. Базис e₁,…, e_n, удовлетворяющий перечисленным в этом пункте условиям, называется ортонормированным.

Теорема 1. В n – мерном линейном пространстве с заданной квадратичной метрикой всякий набор из попарно ортогональных единичных или мнимоединичных векторов общим числом nявляется базисом, в котором метрическая форма имеет нормальный вид.

Доказательство. Пусть e₁,…, e_n– указанный набор векторов. Убедимся, что они линейно независимы. Рассмотрим соотношение

₁e₁ +

Отсюда, умножая скалярно наe₁, получим

Но по условию (e₁, e₁) =

1, (e_j, e₁) = 0 (j

1); кроме того, (

, e₁) = 0. Следовательно,

= 0. Аналогично докажем, что векторы e₁,…, e_n независимы и, значит, действительно составляют базис.

Так как g(e_i, e_i) = (e_i, e_i) =

1 g(e_i, e_i)= (e_i, e_i)=0, то форма g(e_i, e_i) в базисе e₁,…, e_n имеет нормальный вид.

2. Наряду с доказанной выше теоремой 1 мы отметим следующее утверждение.

В n – мерном линейном пространстве всегда можно задать, причем единственным способом, такую квадратичную метрику, что произвольный заранее данный базис e₁,…, e_k, e_k + 1,…,e_nстанет ортонормированным, его векторы e₁,…, e_kстанут единичными, а векторы e_k + 1,…,e_n – мнимо- единичными; здесь k – также любое заранее данное целое число от 0 доn.

Доказательство. Искомая метрика однозначно определяется заданием метрической формы g(x, x) которая в базисе e₁,…, e_k, e_k+ 1,…, e_nимеет вид

g(x, x) = (x¹)² +…+(x ^k)² – (x ^{k+ 1})² - …- (x ⁿ)².

3. Согласно закону инерции квадратичных форм число единичных и число мнимо-единичных векторов не зависит от выбора базиса, ортонормированного в данной квадратичной метрике.

Определение. Числи k единичных векторов ортонормированного базиса называется положительным индексом пространства с данной квадратичной метрикой.

Если k = nили еслиk = 0, то пространство называется евклидовым.

Если 1

k

n – 1, то пространство называется псевдоевклидовым.

Особенно большое значение имеет псевдоевклидово пространство при

k = n – 1. Оно называется пространством Минковского и при n = 4 играет важную роль в теории относительности.

1.4.Ортогональная проекция. Ортогонализация

1. В этом параграфе рас

смотрим евклидово пространство L, то есть линейное пространство со знакоопределенной метрической формой.

Будем считать метрическую форму положительно определенной.

Размерность пространства L может быть бесконечной.

Пусть в Lдано подпространство

. Допустим, что вектор x

Lпредставляется в виде суммы

=

(1)

где

, а ортогонален к . Тогда вектор называется ортогональнойпроекцией вектора x на подпространство . Ортогональная проекция вектора xна единственна. В самом деле пусть имеется другое разложение где ортогонален к . В этом случае отсюда так как а и ортогональны к . Из следует, что то есть поскольку метрическая форма пространства положительно определена.

Частный случай. Когда L трехмерно

двумерно, показан на рис. 1.

Преобразование пространства L, которое каждому вектору x ставит в соответствии вектор

согласно формуле (1), тоже называется ортогональной проекцией на .

Если пространство Lрассматривается как точечное, то а - как плоскость в нем, то точка с радиус – вектором называется ортогональной проекцией на L точки M на представляет собой

ближайшую к Mточку в

. Пусть - произвольный вектор подпространства .

Нужно доказать, что

(2)

причем равенство в (2) достигается только тогда, когда

(то есть когда N совпадает с , рис.1)