Устойчивость по Ляпунову (стр. 9 из 9)
или система
Однако критерий Винтнера-Еругина не гарантирует продолжимости всех решений. В самом деле
. Обозначим 
. Получаем, что 
Отсюда можно сделать вывод, что для установления продолжимости на
более эффективно использование функций Ляпунова, нежели признака Винтнера-Еругина.Рассмотрим уравнение
эквивалентное системе
Для продолжимости всех решений уравнения на
достаточно выполнения условий:1) непрерывности при всех
функции 
,2) непрерывности функций
и 
и непрерывной дифференцируемости по 
функции , а, кроме того, выполнения для них условий 
вне некоторого ограниченного множества
, содержащего начало координат.Действительно, взяв функцию
вне множества
и для достаточно больших 
, будем иметь 
Это неравенство, в силу леммы , не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, и на основании теоремы получаем справедливость нашего утверждения.
В основном данная работа посвящена построению функций Ляпунова для выявления свойства продолжимости всех решений некоторых нелинейных уравнений третьего порядка на полупрямую
.В работе рассмотрены следующие нелинейные уравнения третьего порядка:
Для рассмотренных уравнений с помощью функций Ляпунова получены достаточные условия продолжимости всех решений на полупрямую
.Приведенные примеры построения функций Ляпунова для выявления свойства продолжимости нелинейных уравнений третьего порядка говорят о возможности применения указанных функций не только для выяснения вопросов устойчивости, но и для выявления других свойств решений дифференциальных систем.
Список использованных источников
1. Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4-е изд., М.: Наука, -- 1974., --- 331стр.
2. Горбунов А.Д., Некоторые вопросы качественной теории обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. М.: Учен. зап. ун-та, 165. Математика, 7 (1954), 39--78.
3. Ла-Салль Ж., Лефшец С., Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова, М.: Мир, 1964г.
4. Ющенко А.А., // Доклады АН БССР, т. 11, №10, 1967г.
5. Ющенко А.А., // Дифференциальные уравнения т.4 №11, 1968г.
6. Демидович Б.П., Лекции по математической теории устойчивости, М.: Наука, 1967г.
7. Барбашин Е.А., Функции Ляпунова, М.: Наука, 1970