Устойчивость по Ляпунову (стр. 8 из 9)

А отсюда легко следует утверждение теоремы.

Замечание. Можно показать, что если в правой части уравнения вместо функции

поставить функцию которая либо ограничена для всех , либо для существует непрерывная функция такая, что при всех выполняется неравенство , то все решения уравнения при тех же предположениях относительно функций и неограниченно продолжаемы.

Замечание. Заключение о неограниченной продолжимости решений дифференциального уравнения легко получить из теоремы , положив

.

Как отмечено выше, существует ряд признаков продолжимости решений. Простейшим из них является признак Винтнера-Еругина, который утверждает, что если в уравнении

функция определена и непрерывна для всех и , как функция двух переменных, то любое решение этого уравнения неограниченно продолжаемо в обе стороны, если только выполняется неравенство , где --- функция, удовлетворяющая условию , где --- число. В простейшем случае , где --- число, т.е. получаем, что функция близка к линейной. Ясно, что в этом случае продолжимость всех решений на легко установить при помощи функций Ляпунова с использованием дифференциальных неравенств, взяв . Обратное утверждение не всегда верно. Например, для уравнения

условия продолжимости, полученные при помощи функций Ляпунова, запишутся так:

для больших и для больших . Понятно, что, положив и получим, на основании теоремы , вывод о продолжимости всех решений уравнений . Но критерий Винтнера-Еругина не выполняется за счет .

Рассмотрим уравнение

эквивалентное системе

Теорема

Пусть

--- непрерывная на всех функция, а функции , и удовлетворяют условиям:

а)

--- ограниченная для всех , где --- некоторое ограниченное множество, содержащее начало координат,

б)

при ,

в)

--- непрерывная и непрерывно дифференцируемая по функция и , для всех . Тогда все решения системы или уравнения неограниченно продолжаемы.

Доказательство

В самом деле, возьмем функцию

Оценивая ее производную в силу системы при

(для , вообще говоря больших), перейдем к неравенству

которое, очевидно, в силу леммы , не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения. Воспользовавшись теоремой , приходим к требуемому заключению.

Замечание. Воспользовавшись этой теоремой, легко получить вывод о продолжимости всех решений уравнения

и уравнения

В самом деле, при выполнении всех условий теоремы , полагая

в первом случае и --- во втором, легко получаем

Следствие. Если в уравнении функции

, непрерывны по и соответственно и для больших , а функция для больших то все решения этого уравнения продолжимы на .

Следствие. Если в уравнении () функции

, и удовлетворяют условиям:

а)

непрерывна для ,

б)

ограничена для больших ,

в)

для больших ,

г)

непрерывна и для больших , то все решения уравнения неограниченно продолжимы вправо.

Пример. Очевидно, что всем условиям продолжимости удовлетворяет уравнение