Устойчивость по Ляпунову (стр. 4 из 9)
Условия устойчивости в целом в данном случае улучшаются, так как условие б) заменяется менее ограничительным условием
Метод деления переменных
Рассмотрим систему
где
при 
--- постоянные, 
могут быть функциями координат, параметров и времени.Определенно положительная функция
имеет производную в силу системы в следующем виде:
где
Таким образом,
будет определенно отрицательной или знакоотрицательной, если этим же свойством обладает форма 
Как известно, критерий Сильвестра легко переносится на случай квадратичных форм с переменными коэффициентами, и поэтому этот критерий с успехом может быть использован.
В качестве примера построим функцию Ляпунова для системы уравнений переходного процесса синхронного двигателя
Здесь
, 
--- постоянные, 
--- возмущение рабочего угла, 
--- возмущение силы тока, возникающее в результате наброса нагрузки на двигатель.В данном случае получаем
а в качестве матрицы
берем единичную матрицу. Таким образом, получим 
Построенная функция Ляпунова позволяет оценить область притяжения положения равновесия, что дает возможность быстро оценить допустимую предельную нагрузку на синхронный двигатель.
Предложенный метод в линейном случае дает необходимые и достаточные условия устойчивости, если найти подходящие выражения для
. Это следует из того, что всякая определенно положительная квадратичная форма линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду, т. е. к сумме квадратов переменных. Трудность этого метода состоит в подборе и матрицы 
.Метод Красовского
Исследуется система уравнений
Функция Ляпунова строится в виде
, где симметричная матрица 
подбирается так, чтобы ее собственные числа были положительны и чтобы симметризованная матрица 
удовлетворяла критерию отрицательности Сильвестра. Имеем в силу системы
Таким образом, получим
и 
.В качестве примера рассмотрим уравнение
эквивалентное системе
Функцию Ляпунова выбираем в виде
Легко видеть, что
Очевидно, следует принять
и 
, тогда будем иметь 
и условие устойчивости в целом принимает вид
при любых 
.Метод Уокера-Кларка
Рассмотрим уравнение
эквивалентное системе
Функцию Ляпунова для системы предлагается брать в виде
где
специально подбирается с целью упрощения вида 
и с целью выполнения неравенства 
.Так, например, для системы
функцию
будем искать в виде 
Имеем в силу системы
где
Очевидно, проще всего положить
, 
, 
, откуда 
и получаем функцию
В качестве второго примера рассмотрим уравнение
эквивалентное системе
Согласно предложенному способу следует принять
Имеем тогда
Если положить
, то условия устойчивости будут иметь вид 
и 
.Но эти условия не могут быть удовлетворены для линейной функции
.Значительно полезней оказывается функция, предложенная Л. Америо ,
В данном случае получим
и условия устойчивости в целом принимают вид
а)
при 
,б)
при 
,в)
при 
.Градиентный метод
Предлагается начинать поиск функций Ляпунова с записи градиента этой функции в форме
где
Функции
подбираются из условия отрицательности и из требования, чтобы векторное поле 
было потенциальным. Это значит, что должны выполняться условия 
. После того как найден градиент сама функция определяется как криволинейный интеграл