Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряж нных комплексных координатах (стр. 5 из 6)
Примем без доказательства следующую теорему [1]: если λ – собственное действительное число аффинного преобразования, то множество точек, каждая из которых делит в отношении 
отрезок, соединяющий точку с её прообразом, есть двойная прямая этого преобразования.
 |
Рис. 3
Очевидно, что прямые MM’ и NN’ (рис. 3) являются двойными прямыми и λ2– действительное число, то точка Р делит отрезок MM’ в отношении
, то есть 
. Число 
=δ называется коэффициентом сжатия. Если а – действительное число, то направление сжатия перпендикулярно его оси и сжатие называется прямым (ортогональным) сжатием.Рассмотрим частный случай сжатия – косую симметрию[1]. Это инволютивное преобразование, то есть оно тождественно преобразованию, обратному ему. Преобразование, обратное (24), имеет формулу:
(25)Оно имеет ту же ось, что и (24). Равенство преобразований (24) и (25) имеет место тогда и только тогда, когда
, откуда 
, то есть а – чисто мнимое число. Таким образом, формулой (24) при условии 
задаётся косая симметрия с действительной осью. В этом случае коэффициент сжатия равен 
, следовательно, ось косой симметрии делит пополам каждый отрезок, соединяющий соответственные точки. Косая симметрия – аффинное преобразование второго рода, так как его определитель отрицателен.Если а=0, получаем осевуюсимметрию относительно действительной оси. Осевая симметрия – аффинное преобразование также второго рода (
).2.3. Сдвиг
Выясним, как перемещается по плоскости точка при сдвиге (рис.4). Рассмотрим равенство (22), возьмём модули обеих частей этого равенства
(26)и посмотрим, чем является каждый модуль в (26).
 |
Рис. 4
- это расстояние от точки М(z) до её образа M’(z’) при аффинном преобразовании. 
- это модуль постоянного вектора, перпендикулярного направлению сдвига, а 
- это расстояние от М(z) до точки с координатой, сопряжённой z, равное удвоенному расстоянию от точки M(z) до действительной оси Ох.Преобразуем правую часть (26):
, (27) тогда из (22) и (27) следует, что при сдвиге каждая точка M(z) смещается параллельно его оси на расстояние , пропорциональное расстоянию 
от этой точки до действительной оси. Коэффициент пропорциональности этих расстояний 
называется коэффициентом сдвига.Найдём собственные числа преобразования сдвига из уравнения, составленного аналогично тому, как составляли для сжатия:
, откуда найдём 
. Значит, преобразование сдвига имеет только один инвариантный пучок параллельных прямых, параллельных оси сдвига.Определитель преобразования сдвига
строго больше нуля, поэтому сдвиг – аффинное преобразование первого рода.§3. Эллиптический поворот
Эллипс – это образ окружности при аффинном преобразовании. [1]
Рассмотрим ортогональное сжатие g к действительной оси.
Его задают условия:
(28)а обратное к нему аффинное преобразование g-1 имеет формулу:
, где 
, откуда в силу (28) обратное преобразование имеет вид: 
(29)При ортогональном сжатии окружность
перейдёт в эллипс (рис. 5). Коэффициент рассматриваемого сжатия равен 
, тогда 
. 
и 
называются большой и малой осями эллипса при 
. Найдём уравнение этого эллипса. Для этого в уравнении окружности заменим z на правую часть (29), получим: 
, тогда 
. Преобразовав данное равенство, получим: 
, откуда получаем уравнение эллипса 
.Рассмотрим две произвольные точки окружности N и N1. Точку N можно перевести в точку N1 поворотом h на некоторый угол
вокруг точки О: 
, где 
, 
, 
. 
Y
PN1
N
M
KM1
COD X
Т
Q
Рис. 5
Пусть точки М и М1 – образы точек соответственно N и N1 при ортогональном сжатии g. Тогда точку М можем перевести в точку М1 следующим образом:
1)
(преобразование, обратное ортогональному сжатию);2)
(поворот вокруг точки О на угол );3)
(ортогональное сжатие).Тогда
, где 
. Найдём формулу преобразования f.1. Сначала найдём формулу преобразования
: 
.2. Найдём формулу для преобразования f:
, откуда получаем 
- это формула эллиптического поворота.Проверим, будет ли определитель рассматриваемого преобразования не равен нулю. Преобразуем выражение определителя