
де

і

- постійні, а

є непарний многочлен степені (2n-3). Звідси стає зрозумілим, що якщо

є многочлен n – ї степені від х, то

, (10)
де

і

- постійні, а

(х) є деякий многочлен (n-2) – ї степені від х. Визначення цих постійних і коефіцієнтів многочлена Q може бути виконано (якщо многочлен Р коректно заданий за методом невизначених коефіцієнтів.)
Зауважимо, що з (9) можна було б виразити через

та

інтеграли

і при від’ємних значеннях (n= -1, -2, …), так що в інтегралах

досить обмежитись випадком

.
Переходячи до інтегралів

(скажімо, при дійсних a), подібним чином встановимо для них рекурентне співвідношення

справедливе і при від’ємних і нульовому значеннях m.
Звідси всі

виражаються через три з них:

тобто, кінцево через

,

та

.
Підкреслимо, що усе це зберігає силу і при уявних значеннях параметра а.
Так в результаті усіх наших тверджень ми підходимо до наступних висновків: всі еліптичні інтеграли за допомогою елементарних підстановок – з точністю до доданків, що виражаються в кінцевому виді, - приводяться до наступних трьох стандартних інтегралів:

( останній інтеграл виходить із
введенням, замість
, нового параметра
). Ці інтеграли, як показав Ліувіль , в кінцевому виді вже не беруться. Лежандр їх назвав еліптичними інтегралами, відповідно, 1-го, 2-го і 3-го роду. Перші два містять лише один параметр k, а останній, крім нього, ще (комплексний) параметр h.Лежандр вніс у ці інтеграли ще подальші спрощення, виконавши в них підстановку
(
змінюється від 0 до
). При цьому перший із них безпосередньо переходить в інтеграл
. (11)Другий перетворюється так:

тобто приводиться до попереднього інтеграла і до нового інтеграла
. (12)Нарешті, третій інтеграл при вказаній підстановці переходить в
. (13)Інтеграли (11), (12) і (13) також називаються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду – в формі Лежандра.
Із них особливо важливе значення і застосування мають перші два. Якщо враховувати, що ці інтеграли при
перетворюються в нуль, і тим зафіксувати вільні сталі, що містяться в них, то отримаємо дві доволі визначені функції від
, які Лежандр позначив відповідно через F(k, φ) і E(k, φ). Тут, крім незалежної змінної
, вказаний також параметр k, що називається модулем, який входить у вирази цих функцій.Лежандром були складені обширні таблиці значень цих функцій при різних
і різних k. В них не тільки аргумент
,який трактуються як кут, що виражається в градусах, але і модуль kрозглядається як синус деякого кута
, який і вказується в таблиці замість модуля, причому також в градусах.Крім того, як Лежандром, так і іншими вченими були вивчені найглибші властивості цих функцій, встановлений ряд формул, що відносяться до них, і т.д.
Дякуючи цьому функції F і E Лежандра ввійшли в сім’ю функцій, що зустрічаються в аналізі і його додатках, на рівних правах з елементарними функціями.
Висновки
В результаті усіх наших міркувань ми коротко можемо сказати, що всі еліптичні інтеграли за допомогою елементарних підстановок – з точністю до доданків, що виражаються в кінцевому виді, - приводяться до наступних трьох стандартних інтегралів Лежандра:

А за допомогою підстановки
(
змінюється від 0 до
) ці інтеграли перетворюються в такі:
,
і
,які також називаються еліптичними інтегралами 1-го, 2-го і 3-го роду в формі Лежандра, значення яких можна знайти в таблицях.
Використана література:
1. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. М.: Наука, 1966 г., 800 стр. с илл.
2. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II. М.: Наука, 1966 г., 800 стр. с илл.
3. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973 г., 832 стр. с илл.
4. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, 1980 г., 976 с., илл.
ДОДАТКИ
Еліптичні інтеграли першого роду
Еліптичні інтеграли другого роду