Еліптичні інтеграли (стр. 2 из 4)

Постараємось тепер необхідною підстановкою знищити в обох трьохчленах відразу члени першої степені.

Якщо р=р’, то наша ціль досягається простою підстановкою

. Нехай тепер ; в цьому випадку ми скористаємось дробно-лінійною підстановкою

Можливість встановити дійсні і при чому різні значення для коефіцієнтів μ і ν зумовлена нерівністю

(6)

Нехай же тепер трьохчлени (5) обидва мають дійсні корені, скажемо, перший – корені α і β, а другий корені γ і δ. Підставляючи

можна переписати (6) у вигляді

(6ґ)

а для здійснення цієї нерівності достатньо лише потурбуватися, щоб корені трьохчленів не перемежались (наприклад, щоб було α > β > γ > δ ), що в наших можливостях.

Таким чином, належно вибравши μ і ν, за допомогою вказаної підстановки ми отримаємо

що можна також (якщо виключити випадки, коли який-небудь з коефіцієнтів M, N, M’, N’ виявляються нулем) переписати у виді

при А, m іm’ відмінних від нуля.

Цей інтеграл можна звести, з точністю до інтеграла від раціональної функції, до такого

Розкладемо тепер раціональну функцію R*(t) на два доданки

Перший доданок не міняє свого значення при заміні tна –t, значить, зводиться до раціональної функції від

: ; другий же при вказаній заміні міняє знак, і тому має вид Розглянутий інтеграл представиться в формі суми інтегралів

Але другий із них підстановкою

відразу зводиться до елементарного інтегралу

і береться в кінцевому виді. Таким чином, подальшому дослідженню підлягає тільки інтеграл

(7)

3. Приведення до канонічної форми

Покажемо, нарешті, що кожен інтеграл типу (7) може бути представленим у формі

(8)

де k – деякий додатній правильний дріб: 0<k<1. Назвемо цю форму канонічною.

Введемо скорочено

Не зменшуючи загальності, дозволяється вважати тут А = ± 1; крім того, для визначеності обмежимося додатніми значеннями t. Розглянемо тепер різні можливі комбінації знаків A, m, m’ і вкажемо для кожного випадку підстановку, що безпосередньо приводить інтеграл (7) в канонічну форму.

1) А = +1,

( ). Для того, щоб радикал мав дійсні значення, необхідно, щоб було або Припускаємо, що

де 0<z<1 або

Тоді

так, що за kтут треба прийняти

2) А = +1,

(h, h’>0). Для того, щоб радикал мав дійсні значення, обмежимося значеннями .

Припускаємо, що

де 0 < z ≤ 1.

Тоді

і можна взяти

3) А = +1,

(h>h’>0). Зміна tнічим не обмежена. Припустимо

де 0≤z<1.

В цьому випадку

і

4) А = -1,

(h, h’>0).Зміна tобмежена нерівністю . Беремо

, де 0<z<1 ,

так, що

і

.

5) А = -1,

(h>h’>0). Змінна t може змінюватися лише між і . Припустимо

, де 0<z<1.

Маємо

і

Цим вичерпуються всі можливі випадки, тому що у випадку, коли А = -1 і обидва числа m, m’ > 0, радикал взагалі не міг би мати дійсних значень. Про множник ми не говорили нічого, тому що у всіх випадках він, очевидно, перетворювався у раціональну функцію від .

Відмітимо ще, що розглядаючи інтеграл (8), ми можемо обмежуватися значеннями z<1; випадок

приводиться до цього підстановкою , де <1.

4. Еліптичні інтеграли 1-го, 2-го і 3-го роду

Тепер залишається вивчити найпростіші з інтегралів виду (8), до яких можна було б звести всі інтеграли цього виду, а відповідно, в кінцевому рахунку, і взагалі, всі еліптичні інтеграли.

Виділимо з раціональної функції R(x), що зустрічається в підінтегральному виразі (8) цілу частину P(x), а правильний дріб, який входить до його складу, розкладемо на прості дроби. Якщо не об’єднувати спряжені комплексні корені знаменника, а розглядати їх окремо, як дійсні корені, то R(x) представиться у вигляді суми степенів

(n = 0, 1, 2,…) і дробів виду (m = 1, 2, 3,…), де а може бути і уявним числом, помножених на числові коефіцієнти. Звідси ясно, що інтеграл (8), в загальному випадку, являється лінійним агрегатом наступних інтегралів:

(n = 0, 1, 2,…)

і

(m = 1, 2, 3,…).

Зупинимося на інтегралах

. Якщо проінтегрувати тотожність

то отримаємо рекурентне співвідношення

(9)

що зв’язують три послідовні інтеграли І. Припускаючи що тут n=2, виразимо

через та ; якщо взяти n=3 і замість підставити його вираз через та , то навіть виразиться через ці інтеграли. Продовжуючи так далі, легко переконатися, що кожен з інтегралів виражається через та і далі враховуючи (9), можна встановити і вигляд з’єднуючої їх формули