Поверхневі інтеграли (стр. 2 из 4)

Якщо у довільну точку

поверхні після обходу довільного замкненого контуру, розміщеного на поверхні , який не перетинає її межу, ми повертаємося з початковим напрямом нормалі , то поверхню називають двосторонньою.

Якщо при обході деякого контуру напрям нормалі змінюється на протилежний, то поверхню називають односторонньою.

Прикладами двосторонніх поверхонь є площина, сфера, довільна замкнена поверхня без самоперетинів, довільна поверхня, задана рівнянням

, де – функції, неперервні в деякій області площини .

Прикладом односторонньої поверхні є так званий лист Мебіуса (рис. 3).

Рисунок 3 – Лист Мебіуса

Модель цієї поверхні можна отримати, якщо прямокутну полоску паперу

, перекрутивши один раз, склеїти так, щоб точка збігалася з , а точка – з .

Двосторонню поверхню називаютьорієнтовною, а вибір певної її сторониорієнтацією поверхні. Направивши в кожній точці замкненої поверхні нормаль всередину об'єму, обмеженого поверхнею, отримаємо внутрішню сторону поверхні, а направивши нормаль зовні поверхні-зовнішню її сторону. Надалі розглядатимемо двосторонні поверхні. Односторонні поверхні неорієнтовні.

Нехай

– орієнтовна (сторона уже обрана) поверхня, обмежена контуром , який не має точок самоперетину. Вважатимемо за додатний той напрям обходу контуру , при якому спостерігач, розміщений так, що напрям нормалі збігається з напрямом від ніг до голови при русі, залишає поверхню зліва від себе (рис. 4).

Рисунок 4 – Орієнтовна поверхня

Протилежний напрям обходу називається від'ємним. Якщо змінити орієнтацію поверхні на протилежну, то додатний і від'ємний напрями обходу контуру

поміняються місцями.

З'ясуємо тепер поняття поверхневого інтеграла другого роду.

Нехай

– гладка поверхня, задана рівнянням і – обмежена функція, визначена в точках поверхні . Зорієнтуємо поверхню . Розіб'ємо її довільно на частин. Позначимо через проекцію -ї частини поверхні на площину , а через – площу , взяту із знаком плюс, якщо обрана зовнішня сторона поверхні , та із знаком мінус, якщо обрана внутрішня сторона поверхні . Виберемо в кожній частині довільну точку і складемо суму

.(6)

Вираз (6) називається інтегральною сумою. Нехай

– максимальний діаметр поверхонь .

Якщо при

інтегральні суми (6) мають скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття поверхні , ні від вибору точок , то цю границю називають поверхневим інтегралом другого роду і позначають так: . Отже, за означенням

.(7)

З означення поверхневого інтеграла другого роду випливає, що при зміні сторони поверхні на протилежну інтеграл змінює знак, бо змінює знак

.

Поверхню

можна також проектувати на координатні площини та . Тоді матимемо ще два поверхневі інтеграли , де – функції, визначені в точках поверхні .

Оскільки

(рис. 5),

Рисунок 5 – Проекція поверхні

на координатну площину

де

– елемент площі поверхні – кути між нормаллю до поверхні та осями відповідно, то справедливі такі формули:

На практиці найпоширенішими є поверхневі інтеграли, які об'єднують усі названі, тобто

.(8)

Якщо, наприклад, вектор

є швидкістю рідини, то кількість рідини, яка протікає через поверхню за одиницю часу, називається потоком вектора через поверхню і знаходиться за формулою: