Гипергеометрическое уравнение (стр. 9 из 13)

=z[1+

]=z[1+ = zF( , , ,z²).

3. Вырожденная гипергеометрическая функция

Наряду с гипергеометрической функцией F(

, , ,z), важную роль в теории специальных функций играет так называемая вырожденная гипергеометрическая функция F( , ,z).

Чтобы определить эту функцию, заметим, что степенной ряд

,

где z – комплексное переменное,

и - параметры, которые могут принимать любые вещественные или комплексные значения, исключая =0,-1,-2,… и символ обозначает величину

= =1

сходится при любых конечных z.

Так как, если обозначить через

общий член ряда, то

= 0, когда k .

Вырожденная гипергеометрическая функция F(

, ,z) определяется как сумма рассматриваемого ряда

F(

, ,z)= , 0,-1,-2,…, < (4.1)

Из данного определения вытекает, что F(

, ,z) функция комплексного переменного z.

Если положить

f(

, ,z)= F( , ,z)= , (4.2)

то f(

, ,z) при фиксированном z будет целой функцией от и . Действительно, члены ряда (6.2) являются целыми функциями этих переменных, и ряд сходится равномерно в области <A, <C.

Полагая

, имеем для достаточно больших k

=

Отсюда следует, что при заданном z функция F(

, ,z)

представляет целую функцию

и мероморфную функцию с простыми полюсами в точках =0,-1,-2,…

Функция F(

, ,z) весьма часто встречается в анализе, причем главное ее значение состоит в том, что многие специальные функции могут рассматриваться как ее частные случаи, что в значительной мере облегчает построение теории этих функций и придает ей общий и компактный характер.

Связь функции F(

, ,z) с гипергеометрической функцией дается соотношением

F( , ,z)=limF( , , , ).(4.3)

Из определения вырожденной гипергеометрической функции непосредственно вытекают равенства

F( , ,z)= F( +1, +1,z) (4.4)

F( , ,z)= F( +m, +m,z) m=1,2,... (4.5)

и рекуррентные соотношения

(

- -1)F+ F ( +1)-( -1)F( -1)=0 (4.6)

F- F( -1)-zF( +1)=0 (4.7)

(

-1+z)F+( - )F( -1)-( -1)F( -1)=0 (4.8)